3、(x－2)(x＋1)≤0，
則－1≤x≤1.
③當(dāng)x<－1時，f(x)≥g(x)x2－3x－4≤0，
解得－1≤x≤4，
又x<－1，∴不等式此時的解集為空集.
綜上所述，f(x)≥g(x)的解集為.
(2)依題意得：－x2＋ax＋4≥2在[－1，1]上恒成立.
則x2－ax－2≤0在[－1，1]上恒成立.
則只需解之得－1≤a≤1.
故a的取值范圍是[－1，1].
考 點 整 合
1.絕對值不等式的性質(zhì)
定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立.
定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且
4、僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時，等號成立.
2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c.
(2)|ax＋b|≥cax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)利用絕對值不等式的幾何意義直觀求解.
(2)利用零點分段法求解.
(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解.
4.基本不等式
定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.
定理2：如果a，b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.
定理3：如果a，b，c
5、為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立.
定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立.
熱點一 絕對值不等式的解法
【例1】 (2018·衡水中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|.
(1)求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)>＋a的解集包含[2，3]，求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)依題意得|2x－2|＋|x＋3|≥3x＋2，
當(dāng)x<－3時，原不等式可化為2－2x－x－3≥3x＋2，
解得x≤－，故x<－3；
當(dāng)－3≤x≤1時，原不等式可化為2－2
6、x＋x＋3≥3x＋2，
解得x≤，故－3≤x≤；
當(dāng)x>1時，原不等式可化為2x－2＋x＋3≥3x＋2，無解.
綜上所述，不等式f(x)≥3x＋2的解集為.
(2)依題意，|2x－2|＋|x＋3|>＋a在[2，3]上恒成立，
則3x＋1－>a在[2，3]上恒成立.
又因為g(x)＝3x＋1－在[2，3]上為增函數(shù)，
所以有3×2＋1－>a，解得a<.
故實數(shù)a的取值范圍為.
探究提高 1.含絕對值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，絕對值不等式可利用分段函數(shù)的圖象的幾何直觀性求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.
2.解絕對值不等式的關(guān)鍵是去絕對值符號，常用的零點分段法的一般步驟：求零點；劃分區(qū)
7、間，去絕對值符號；分段解不等式；求各段的并集.此外，還常用絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸直觀求解.
【訓(xùn)練1】 (2018·全國Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等價于|x＋a|＋|x－2|≥4.
又|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且當(dāng)x＝2時等號成立.
故f(x)≤1等價于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，
8、＋∞).
熱點二 不等式的證明
【例2】 (2017·全國Ⅱ卷)已知實數(shù)a>0，b>0，且a3＋b3＝2.
證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
證明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋·(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
探究提高 1.證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證法，其中比較法和綜合法是基礎(chǔ)，綜合法證明的關(guān)鍵是
9、找到證明的切入點.
2.當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法.
【訓(xùn)練2】 (2018·濟南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(2x＋5)≥x＋9；
(2)若a>0，b>0，且＋＝2，證明：f(x＋a)＋f(x－b)≥，并求f(x＋a)＋f(x－b)＝時，a，b的值.
解 (1)f(x)＋f(2x＋5)＝|x－1|＋|2x＋4|≥x＋9，
當(dāng)x≤－2時，不等式為4x≤－12，
解得x≤－3
10、，故x≤－3，
當(dāng)－20，b>0).
又＋＝2，
所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋
≥＋2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a時“＝”成立；
由可得
綜上所述，f(x＋a)＋f(x－b)≥，
當(dāng)f(x＋a)＋f(x－b)＝時，a＝，b＝3.
熱點三 絕對值不等式恒成立(存在)問題
【例3】 (2017·全國Ⅲ卷
11、)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍.
解 (1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
由f(x)≥1可得
①當(dāng)x≤－1時顯然不滿足題意；
②當(dāng)－1
12、
①當(dāng)x≤－1時，[g(x)]max＝g(－1)＝－3－1－1＝－5；
②當(dāng)－1
13、數(shù)a的值；
(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
解 (1)因為|x＋a|＋2a≤1，所以|x＋a|≤1－2a，
所以2a－1≤x＋a≤1－2a，所以a－1≤x≤1－3a.
因為不等式f(x)≤1的解集為{x|－2≤x≤4}，
所以解得a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝|x－1|－2.
不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，
只需f(x)min≥k2－k－4，
所以－2≥k2－k－4，即k2－k－2≤0，
所以k的取值范圍是[－1，2].
1.絕對值不等式的三種常用解法：零點分段法、幾何法(利用絕對值幾何意義)、構(gòu)造函數(shù)
14、法.前者體現(xiàn)了分類討論思想，后者體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
2.利用絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函數(shù)最值，要注意其中等號成立的條件，利用基本不等式求最值也必須滿足等號成立的條件.不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.
3.分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.
1.(2018·湖南六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋3|－|1－2x|.若存在x∈R，使得f(x)>|3a－1|
15、成立，求實數(shù)a的取值范圍.
解 ∵f(x)＝|2x＋3|－|1－2x|≤|(2x＋3)＋(1－2x)|＝4.畫出f(x)的圖象，如圖所示：
∴f(x)max＝4.
若存在x∈R，使得f(x)>|3a－1|成立.
∴|3a－1|<4，解之得－1cd，則＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件.
證明 (1)∵a，b，c，d為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，
要證＋>＋，只需證明(＋)2>(＋)2，
也就是證明a＋b＋2>c＋d＋2，
只需證明>，即證ab>c
16、d.
由于ab>cd，因此＋>＋.
(2)必要性：若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
∵a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
充分性：若＋>＋，則(＋)2>(＋)2，
∴a＋b＋2>c＋d＋2.
∵a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件.
3.(2018·南寧聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解
17、集；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值為m，正數(shù)a，b滿足a＋b＝m，求證：＋≥4.
(1)解 當(dāng)x≥1時，x－1≥3－2x，解得x≥，故x≥；
當(dāng)0
18、1|.
(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若x∈(0，1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
則當(dāng)x≥1時，f(x)＝2>1恒成立，所以x≥1；
當(dāng)－11，所以1的解集為.
(2)當(dāng)x∈(0，1)時|x＋1|－|ax－1|>x成立等價于當(dāng)x∈(0，1)時|ax－1|<1成立.
若a≤0，則當(dāng)x∈(0，1)時，|ax－1|≥1；
若a>0，|ax－1|<1的解集為，
所以≥1，故0
19、－1，所以－1
20、(1－b2)<0，
所以(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.
6.(2018·武漢二模)已知函數(shù)f(x)＝＋，a為實數(shù).
(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)>4的解集；
(2)求f(a)的最小值.
解 (1)當(dāng)a＝1時，不等式f(x)>4，
即f(x)＝>4，
①當(dāng)x<－1時，得f(x)＝2>4，無解；
②當(dāng)x∈[－1，0)∪(0，1]時，得f(x)＝>4，
即|x|<，解得－1時，得f(x)＝2>4，無解；
綜上不等式f(x)>4的解集為∪.
(2)f(a)＝＝，
①當(dāng)a<－1或a>1時，f(a)＝＝2|a|>2
21、，
②當(dāng)－1≤a≤1且a≠0時，f(a)＝≥2，
綜上知，f(a)的最小值為2.
7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在實數(shù)x使得f(x)<2成立.
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝6，求證：＋≥.
(1)解 因為|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，
要使|x－m|＋|x|<2有解，則|m|<2，解得－21，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，
∴α＋β＝4，
∴＋＝(α＋β)
＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，
即α＝，β＝時“＝”成立，
故
22、＋≥.
8.(2018·江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|2x＋1|，a∈R.
(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≤1的解集；
(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≤－2x＋1的解集為P，且P，求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|x＋a|＋|2x＋1|＝|x＋1|＋|2x＋1|，
f(x)≤1|x＋1|＋|2x＋1|≤1，
所以或
或
即或或
解得x＝－1或－1
2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考系列 第2講 不等式選講學(xué)案 理
