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1、高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第六章 不等式、推理與證明 理
一. 選擇題
1．（xx·湖南高考理）若變量x，y滿足約束條件則x＋2y的最大值是 ( )
A．－ B．0 C. D.
【解析】選C 本小題主要考查線性規(guī)劃知識及數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔偏易題．求解本小題時一定要先比較直線x＋2y＝0與邊界直線x＋y＝1的斜率的大小，然后應用線性規(guī)劃的知識準確求得最值．作出題設約束條件的平面區(qū)域(圖略)，由?可得
(x＋2y)max＝＋2×＝.
2．（xx·安徽高考理）已知一元二次不等式f(x)<0的解集
2、為，則f(10x)>0的解集為 ( )
A．{x|x<－1或x>lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2}
【解析】選D 本題考查一元二次不等式的求解、指對數(shù)運算．考查轉(zhuǎn)化化歸思想及考生的合情推理能力．因為一元二次不等式f(x)<0的解集為，所以可設f(x)＝a(x＋1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·
3、<0，即10x<，x<－lg 2，故選D
3．（xx·安徽高考理）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足|OA―→|＝|OB―→|＝OA―→·OB―→＝2，則點集{P|OP―→＝λOA―→＋μOB―→，|λ|＋|μ|≤1，λ，
μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是 ( )
A．2 B．2 C．4 D．4
【解析】選D 本題考查平面向量運算、線性規(guī)劃等知識，培養(yǎng)考生對知識的綜合應用能力以及數(shù)形結(jié)合思想．由|OA―→|＝|O
4、B―→|＝OA―→·OB―→＝2，可得∠AOB＝，又A，B是兩定點，可設A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由OP―→＝λOA―→＋μOB―→，可得?
因為|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，當，時，由可行域可得S0＝
×2×＝，所以由對稱性可知點P所表示的區(qū)域面積S＝4S0＝4，故選D.
4.（xx·新課標Ⅱ高考理）已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝ ( )
A. B. C
5、．1 D．2
【解析】選B 本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎題．由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標函數(shù)z＝2x＋y的幾何意義為直線l：y＝－2x＋z在y軸上的截距，知當直線l過可行域內(nèi)的點B(1，－2a)時，目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為1，則2－2a＝1，a＝，故選B.
5．（xx·北京高考理）設關于x，y的不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2.求得m的取值范圍是 ( )
A.
6、 B.
C. D.
【解析】選C 本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及考生分析問題、解決問題的能力．問題等價于直線x－2y＝2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點，由于點(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直線x－2y＝2經(jīng)過第一、三、四象限，則點(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使直線x－2y＝2與陰影部分有公共點，則點(－m，m)在直線x－2y－2＝0的下方，由于坐標原點使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－
7、.
6．（xx·廣東高考理）設整數(shù)n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件x
8、考生接受、理解、運用和遷移新知識的能力，推理論證能力與創(chuàng)新意識．題目中x
9、．－
【解析】選C 本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，考查兩點間斜率的幾何意義等基礎知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力．已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當點M與點A重合時直線OM的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值為－.
8．（xx·山東高考理）設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當取得最大值時，＋－的最大值為 ( )
A．0
10、 B．1 C. D．3
【解析】選B 本題考查基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力.＝＝≤＝1，當且僅當x＝2y時等號成立，此時z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，當且僅當y＝1時等號成立，故所求的最大值為1.
9．（xx·天津高考理）設變量x, y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為 ( )
A．－7
11、 B．－4 C．1 D．2
【解析】選A 本題考查線性規(guī)劃，意在考查考生數(shù)形結(jié)合思想的應用．約束條件對應的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域，當目標函數(shù)y＝2x＋z經(jīng)過可行域中的點(5,3)時，z取得最小值－7.
10．（xx·天津高考理）已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|). 設關于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集為A.若?A, 則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A. B.
C.∪
12、 D.
【解析】選A 本題考查函數(shù)與不等式的綜合應用，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．由題意可得0∈A，即f(a)0時無解，所以a<0，此時1－a2>0，所以－1b，則 (
13、 )
A．a(chǎn)c>bc B.< C．a(chǎn)2>b2 D. a3>b3
【解析】選D 當c＝0時，選項A不成立；當a>0，b<0時，選項B不成立；當a＝1，b＝－5時，選項C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2＋>0，故選D.
12．（xx·重慶高考文）關于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝ ( )
14、
A. B. C. D.
【解析】選A 本題主要考查二次不等式與二次方程的關系．由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝，故選A.
13．（xx·山東高考文）設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當取得最小值時，x＋2y－z的最大值為
15、 ( )
A．0 B. C．2 D.
【解析】選C 本題主要考查基本不等式的應用，考查運算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想．
＝＝＋－3≥2 －3＝1，當且僅當x＝2y時等號成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.
14．（xx·大綱卷高考文）不等式|x2－2|<2的解集是 ( )
A．(－1,1)
16、 B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)
【解析】選D 本題主要考查絕對值不等式、二次不等式的解法．由|x2－2|<2得－2
17、 D．2和0
【解析】選B 本題主要考查線性規(guī)劃問題中求目標函數(shù)的最值，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力．畫出可行域(如圖中陰影部分)，由圖像可得，當y＝－2x＋z經(jīng)過點B(2,0)時，zmax＝4；當y＝－2x＋z經(jīng)過點A(1,0)時，zmin＝2，故選B.
16．（xx·福建高考文）若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是 ( )
A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
18、
【解析】選D 本題主要考查基本不等式，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力．∵2x＋2y≥2＝2(當且僅當2x＝2y時等號成立)，∴≤，
∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故選D.
17．（xx·天津高考文）設變量x, y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為 ( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
【解析】選A 本題主要考查線性規(guī)劃，意在考查考生的數(shù)
19、形結(jié)合能力．約束條件對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當目標函數(shù)y＝2x＋z經(jīng)過直線x－y－2＝0和y＝3的交點(5,3)時，z取得最小值－7.
18.（xx·湖北高考文）某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為 ( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元
20、D．38 400元
【解析】選C 本題主要考查用二元一次不等式組解決實際問題的能力，考查線性規(guī)劃問題，考查考生的作圖、運算求解能力．設租A型車x輛，B型車y輛，租金為z，則
畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點)，則目標函數(shù)z＝1 600x＋
2 400y在點N(5,12)處取得最小值36 800.
19．（xx·陜西高考文）若點(x，y)位于曲線y ＝ |x|與y ＝ 2所圍成的封閉區(qū)域， 則
2x－y的最小值是 ( )
A．－6 B．－2
21、 C．0 D．2
【解析】選A 本題主要考查分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及求解線性規(guī)劃最優(yōu)解的思維方法．
作出函數(shù)y＝|x|＝和y＝2圍成的等腰直角三角形的可行域(如圖陰影部分所示)，則可得過交點A(－2，2)時，2x－y取得最小值－6.
20．（xx·江西高考文）下列選項中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范圍是 ( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)
【解析】選A 本題主要考查分式不等式的解法，考查考生化歸與轉(zhuǎn)化的能力．
法一：取x
22、＝－2，知符合x＜＜x2，即－2是此不等式的解集中的一個元素，所以可排除選項B，C，D.
法二：由題知即
解得得x＜－1.
21．（xx·四川高考文）若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是 ( )
A．48 B．30 C．24 D．16
【解析】選C 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，意在考查考生對基礎知識的掌握．約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點的四邊形區(qū)域
23、，檢驗四個頂點的坐標可知，當x＝4，y＝4時，a＝zmax＝5×4－4＝16；當x＝8，y＝0時，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.
22．（xx·重慶高考理）不等式≤0的解集為 ( )
A．(－，1] B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
【解析】選A 由數(shù)軸標根法可知原不等式的解集為(－，1]．
23．（xx·廣東高考理）已知變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大
24、值
為 ( )
A．12 B．11 C．3 D．－1
【解析】選B
如右圖中的陰影部分即為約束條件對應的可行域，當直線y＝－3x＋z經(jīng)過點A時， z取得最大值．由解得，此時，z＝y(tǒng)＋3x＝11.
24．（xx·山東高考理）設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是
25、 ( )
A．[－，6] B．[－，－1] C．[－1,6] D．[－6，]
【解析】選A
作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由z＝3x－y得y＝3x－z，平移直線y＝3x，由圖像可知當直線經(jīng)過點E(2,0)時，直線y＝3x－z的截距最小，此時z最大為z＝3×2－0＝6，當直線經(jīng)過C點時，直線y＝3x－z的截距最大，此時z最小，由解得此時z＝3x－y＝－3＝－，所以z＝3x－y的取值范圍是[－，6]．
25．（xx·江西高考理）觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b
26、4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝ ( )
A．28 B．76 C．123 D．199
【解析】選C 記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(
27、8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
26．（xx·江西高考理）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表.
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為
28、 ( )
A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
【解析】選B 設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
線性約束條件為即
畫出可行域，如圖所示．
作出直線l0：x＋0.9y＝0，向上平移至過點B時，z取得最大值，由求得B(30,20)，故選B.
27．（xx·四川高考理）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原
29、料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是 ( )
A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元
【解析】選C
設每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應的利潤為z元，于是有z＝300x＋400
30、y，在坐標平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x＋400y＝0，平移該直線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點A(4,4)時，相應直線在y軸上的截距達到最大，此時z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即該公司可獲得的最大利潤是2 800元．
28．（xx·遼寧高考理）設變量x，y滿足則2x＋3y的最大值為 ( )
A．20 B．35 C．45 D．55
【解析】選D
作出不等式組對應的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線y＝－x，易知直線
31、經(jīng)過可行域上的點A(5,15)時，2x＋3y取得最大值55.
29．（xx·遼寧高考理）若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恒成立的是 ( )
A．ex≤1＋x＋x2 B.≤1－x＋x2
C．cos x≥1－x2 D．ln (1＋x)≥x－x2
【解析】選C 對A，因為e3>1＋3＋32，故A不恒成立；同理，當x＝時，>1－x＋x2，故B不恒成立；因為(cos x＋x2－1)′＝－sin x＋x≥0(0∈[0，＋∞))，且x＝0時，y＝cos x＋
32、x2－1＝0，所以y＝cos x＋x2－1≥0恒成立，所以C對；當x＝4時，ln(1＋x)
33、，那么利用平行關系，作圖可以得到P第一次碰到E點時，需碰撞14次．
31．（xx·福建高考理）下列不等式一定成立的是 ( )
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＞1(x∈R)
【解析】選C 取x＝，則lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝π，則sin x＝－1，故排除B；取x＝0，則＝1，故排除D.
32．（xx·福建高考理）若函數(shù)y＝2 x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為
34、 ( )
A. B．1 C. D．2
【解析】選B 可行域如圖中的陰影部分所示，函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過可行域上的點，由得即函數(shù)y＝2x的圖象與直線x＋y－3＝0的交點坐標為(1,2)，當直線x＝m經(jīng)過點(1,2)時，實數(shù)m取到最大值為1，應選B.
33．（xx·四川高考文）若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋4y的最大值是
35、 ( )
A．12 B．26 C．28 D．33
【解析】在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)及直線3x＋4y＝0，平移該直線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點M(4,4)時，相應直線在x軸上的截距達到最大，即zmax＝3×
4＋4×4＝28.
【答案】C
33（xx·遼寧高考文）設變量x，y滿足則2x＋3y的最大值為 ( )
A．20 B．35 C．45 D．55
36、【解析】選D
根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標函數(shù)求最大值．作出不等式組對應的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線y＝－x，易知直線經(jīng)過可行域上的點A(5,15)時，2x＋3y取得最大值55.
34（xx·天津高考文）設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－2y的最小值為 ( )
A．－5 B．－4 C．－2 D．3
【解析】選B
不等式表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分
37、，作輔助線l0：3x－2y＝0，結(jié)合圖形可知，當直線3x－2y＝z平移到過點(0,2)時，z＝3x－2y的值最小，最小值為－4.
35（xx·山東高考文）設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是 ( )
A．[－，6] B．[－，－1] C．[－1,6] D．[－6，]
【解析】選A
不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)的幾何意義是直線在y軸上截距的相反數(shù)，其最大值在點A(2,0)處取得
38、，最小值在點B(，3)處取得，即最大值為6，最小值為－.
36．（xx·福建高考文）若直線y＝2x上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為 ( )
A．－1 B．1 C. D．2
【解析】選B
可行域如圖陰影所示，由
得交點A(1,2)，當直線x＝m經(jīng)過點A(1,2)時，m取到最大值為1.
37（xx·安徽高考文）若x，y滿足約束條件則z＝x－y的最小值是( )
A
39、．－3 B．0 C. D．3
【解析】選A
根據(jù)得可行域如圖中陰影部分所示，根據(jù)z＝x－y得y＝x－z，平移直線y＝x得z在點B(0,3)處取得最小值－3.
38（xx·廣東高考文）已知變量x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最小值
為 ( )
A．3 B．1 C．－5 D
40、．－6
【解析】選C
變量x，y滿足的不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作輔助線l0：x＋2y＝0，并平移到過點A(－1，－2)時，z＝x＋2y達到最小，最小值為－5.
39（xx·湖南高考文）設a>b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有的正確結(jié)論的序號是 ( )
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【解析】選D 由a>b>1，c<0得
41、，<，>；冪函數(shù)y＝xc(c<0)是減函數(shù)，所以acb－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正確．
40（xx·新課標高考文）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點(x，y)在△ABC內(nèi)部，則z＝－x＋y的取值范圍是 ( )
A．(1－，2) B．(0,2) C．(－1,2) D．(0,1＋)
【解析】選A 由題意知，正三角形的頂點C的坐標為(1＋，2)，當z＝－x＋y經(jīng)過點B時，zmax
42、＝2，經(jīng)過點C時，zmin＝1－.
41（xx·重慶高考文）不等式<0的解集為 ( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】選C 不等式等價于(x－1)(x＋2)<0，解得－2
43、 ( )
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
【解析】選D ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)，則f(2011)＝f(501× 4＋7)＝f(7)，∴52011與57的末四位數(shù)字相同，均為8125.故選D.
43（xx·安徽高考文）設變量x，y滿足|x|＋
44、|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別( )
A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1
【解析】選B 法一：特殊值驗證：當y＝1，x＝0時，x＋2y＝2，排除A，C；當y＝－1，x＝0時，x＋2y＝－2，排除D，故選B.
法二：直接求解：如圖，先畫出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域，易知當直線x＋2y＝u經(jīng)過點B，D時分別對應u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
44（xx·山東高考文）不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是 ( )
45、A．[－5,7] B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
【解析】選D |x－5|＋|x＋3|表示數(shù)軸上的點到－3,5的距離之和，不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
45（xx·四川高考文）某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤45
46、0元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z＝ ( )
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
【解析】選C 設派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則，目標函數(shù)z＝450x＋350y，畫出可行域如圖，當目標函數(shù)經(jīng)過A(7,5)時，利潤z最大，為4 900元．
46（xx
47、·湖南高考文）設m>1，在約束條件下，目標函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為 ( )
A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞) C．(1,3) D．(3，＋∞)
【解析】選A 變換目標函數(shù)為y＝－x＋，由于m>1，所以－1<－<0，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，只有直線y＝－x＋在y軸上的截距最大時，目標函數(shù)取得最大值．顯然在點A處取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A(，)，所以目標函數(shù)
48、的最大值是＋<2，即m2－2m－1<0，解得1－
49、 ( )
A．－8 B．8 C．12 D．13
【解析】選D 依題意，記f(x)＝mx2－kx＋2，則有，即①.通過驗證發(fā)現(xiàn)當m＝1,2時均不存在滿足不等式組①的整數(shù)k.
當m＞2時，顯然有m＋2＜2m，此時不等式組①可化為；又m，k均為整數(shù)，故可進一步化為②，要使②成立，必有m＋1＞2；又m＞2，因此有m＞3＋2，顯然5＜3＋2＜6，于是有m≥6.
當m＝6時，由②式得k＝7，此時方程mx2－kx＋2＝6x2
50、－7x＋2＝0的根是、滿足題意．又當m進一步增大時，滿足②式的k不會減小，所以m＋k取最小值時m也取最小值，也就是說，當m＝6，k＝7時，m＋k取最小值13，選D.
49（2011·廣東高考）已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝OM―→·OA―→的最大值為 ( )
A．3 B．4 C．3 D．4
【解析】選B
畫出區(qū)域D，如圖中陰影部分所示，而z＝OM―→·OA―→＝x＋y，∴y＝－x＋z.
令l0：y＝－x，將l0平移到過
51、點(，2)時，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.
50（2011·福建高考）已知O是坐標原點，點A(－1,1)．若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則OA―→·OM―→的取值范圍是 ( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]
【解析】選C 平面區(qū)域如圖中陰影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，設點M(x，y)，因點A(－1,1)，則z＝OA―→·OM―→＝－x＋y，由圖可知；當目標函數(shù)z＝－x＋y過點
52、D時，zmin＝－1＋1＝0；當目標函數(shù)z＝－x＋y過點N時，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范圍為[0,2]，即OA―→·OM―→的取值范圍為[0,2]，故選C.
51（2011·湖北高考）已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為 ( )
A．[－2,2] B．[－2,3] C．[－3,2] D．[－3,3]
【解析】選D 因為a⊥b，所以a·b＝
53、0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可轉(zhuǎn)化為，由圖可得其對應的可行域為邊長為，以點(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)為頂點的正方形，結(jié)合圖象可知當直線2x＋3y＝z過點(0，－1)時z有最小值－3，當過點(0,1)時z有最大值3.所以z的取值范圍為[－3,3]．
52（2011·浙江高考）設實數(shù)x，y滿足不等式組若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是 ( )
A．14 B．16 C．17
54、 D．19
【解析】選B 對于線性區(qū)域內(nèi)邊界的整點為(3,1)，因此最符合條件的整點可能為(4,1)或(3,2)，對于點(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；對于點(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值為16.
53（2011·遼寧高考）設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是( )
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
【解析】選D 當x≤1時，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；當x＞1時，1－lo
55、g2x≤2，解得，x≥，所以，x＞1.綜上可知x≥0.
54．（2011·遼寧高考）函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則
f(x)＞2x＋4的解集為 ( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】選B 令函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－4，則g′(x)＝f′(x)－2＞0
56、，因此，g(x)在R上是增函數(shù)，又因為g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化為：g(x)＞g(－1)，由g(x)的單調(diào)性，可得x＞－1.
二. 填空題
55.（xx·福建高考理）當x∈R，|x|<1時，有如下表達式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.
兩邊同時積分得：01dx＋0xdx＋0x2dx＋…＋0xndx＋…＝0dx，
從而得到如下等式：
1×＋×2＋×3＋…＋×n＋1＋…＝ln 2.
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法，計算：
C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝________.
【解析】本題考查定積分、二項式定理、類比推理等基礎知識，
57、意在考查考生的轉(zhuǎn)化和歸能力、類比推理能力和運算求解能力．
法一：設f(x)＝Cx＋×C x2＋×Cx3＋…＋×Cxn＋1，
所以f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n，
所以f＝0f′(x)dx＝0(1＋x)ndx＝(1＋x)n＋10＝n＋1－(1＋0)n＋1＝.
法二：C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1
＝1×＋×n×2＋××3＋…＋××n＋1
＝(n＋1)×＋×2＋×3＋…＋×n＋1＝
＝
＝.
【答案】
56.（xx·浙江高考理）設z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝________.
【解析】本題考查用平面區(qū)域表示二元一
58、次不等式組、直線方程中參數(shù)的幾何意義以及分析問題、解決問題的能力．畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃知識，目標函數(shù)取最大值12時，最優(yōu)解一定為(4,4)，這時12＝4k＋4，k＝2.
【答案】2
57．（xx·陜西高考理）若點(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為________．
【解析】本題考查分段函數(shù)的圖象和線性規(guī)劃的應用，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．由題意知y＝作出曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，如圖中陰影部分所示，即得過點A(－1,2)時，2x－y取最小值－4.
【答案】－4
58.（xx·陜西高考理）觀察下列等式
12＝1
1
59、2－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此規(guī)律，第n個等式可為________．
【解析】本題考查考生的觀察、歸納、推理能力．觀察規(guī)律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
59（xx·廣東高考理）不等式x2＋x－2<0的解集為________．
【解析】本題考查一元二次不等式的解集，考查考生的運算能力及數(shù)形結(jié)合思想的領悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，畫出函數(shù)圖象可知，當－2
60、0，從而不等式x2＋x－2<0的解集為{x|－2
61、的點共確定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線．
【答案】6
61．（xx·大綱卷高考理）記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線y＝a(x＋1)與D有公共點，則a的取值范圍是________．
【解析】本題考查線性規(guī)劃問題．畫出可行域，易知直線y＝a(x＋1)過定點(－1,0)，當直線y＝a(x＋1)經(jīng)過x＋3y＝4與3x＋y＝4的交點(1,1)時，a取得最小值；當直線y＝a(x＋1)經(jīng)過x＝0與3x＋y＝4的交點(0,4)時，a取得最大值4，故a的取值范圍是.
【答案】
62．（xx·湖北高考理）設x，y，z∈R，且滿足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，則
62、
x＋y＋z＝________.
【解析】本題主要考查不等式的性質(zhì)與方程的求解，意在考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力．根據(jù)柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等號，必須滿足＝＝，結(jié)合x＋2y＋3z＝，可得x＋y＋z＝.
【答案】
63．（xx·四川高考理）已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
【解析】本題考查二次函數(shù)、不等式、函數(shù)的奇偶性，意在考查考生的運算能力和化歸的數(shù)學思想．當x≥0時，f(x)＝x2－4x＜5的解集為[0,5)，又
63、f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＜5的解集為(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集為(－7,3)．
【答案】(－7,3)
64．（xx·四川高考理）設P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個點．在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點P為點P1，P2，…，Pn的一個“中位點”．例如，線段 AB上的任意點都是端點A，B的中位點．現(xiàn)有下列命題：
①若三個點A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個
64、頂點的唯一中位點．
其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號)
【解析】本題主要考查求函數(shù)最值，兩點間的距離公式，建立坐標系，以及不等式的放縮等基礎知識和基本技能，意在考查綜合運用知識分析和解決問題的能力，推理論證和運算求解能力．對于①，不妨假設A，C，B三點在平面直角坐標系xOy中的x軸上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，對于平面內(nèi)任意一點M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因為0＜c＜b，所以當x＝c時，(|MA|＋|MB|＋|MC|)min＝b，此時M(c,0)，也就是M點與C點重合，故①正
65、確；對于②，設△ABC中∠C為直角，以C為原點，CA，CB分別為x，y軸建立平面直角坐標系xOy，并設點A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)為平面內(nèi)任意一點，AB中點坐標為，則|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ＋＋ ，當x＝，y＝時，|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ，而當x＝0，y＝0時，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因為(a2＋b2)－(a＋b)2＝≥ab＞0，所以斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點，故②錯誤；對于③，不妨假設A，B，C，D四點在平面直角坐標系xOy中的x軸上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d
66、，對于平面內(nèi)任意一點M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝＋＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|，因為0＜b＜c＜d，所以當x∈[b，c]時，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|取得最小值，此時M(x,0)，x∈[b，c]，不唯一，故③錯誤；對于④，由①可知A，C的中位點為線段AC之間的任意一點，B，D的中位點為線段BD之間的任意一點，所以A，B，C，D的中位點為線段AC與線段BD的交點，也就是梯形對角線的交點，故④正確．答案為①④.
【答案】①④
65．（xx·天津高考理）設a＋b＝2，b>0，則當a＝________時，＋取得最小值.
【解析】本題考查基本不等式的應用，意在考查考生分析問題、解決問題的能力．因為＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，當且僅當＝，a＜0，即a＝－2，b＝4時取等號，故＋取最小值時，a＝－2.
【答案】－2
66．（xx·北京高考文）設D為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為________．
【解析】本題主要考查線性規(guī)劃的簡單應用，意在考查考生的運算能力、作圖能力以及數(shù)形結(jié)合
高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第六章 不等式、推理與證明 理
