2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 文 北師大版

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1、第2章 函數(shù)全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般為23個客觀題.2.考查內(nèi)容高考中基礎(chǔ)題主要考查對基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握主要涉及函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的圖像，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及周期性綜合，指數(shù)、對數(shù)運算以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，分段函數(shù)求函數(shù)值等.3.備考策略(1)重視函數(shù)的概念和基本性質(zhì)的理解：深刻把握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、零點等概念研究函數(shù)的性質(zhì)，注意分析函數(shù)解析式的特征，同時注意函數(shù)圖像的作用.(2)重視對基本初等函數(shù)的研究，復習時通過選擇、填空題加以訓練和鞏固，將問題和方法進行歸納整理.第一節(jié)函數(shù)及其表示最新考綱1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素

2、，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段)(對應學生用書第9頁)1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設A，B是兩個非空的數(shù)集設A，B是兩個非空的集合對應關(guān)系f：AB如果按照某個對應關(guān)系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應如果按某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的每一個元素x，B中總有唯一一個元素y與之對應名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：AB為從集合A到集合B的一個映射記法函數(shù)yf(x)

3、，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法3分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)

4、1常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定義域均為R.(6)ylogax(a0，a1)的定義域為x|x0(7)ytan x的定義域為.2基本初等函數(shù)的值域(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：當a0時，值域為；當a0時，值域為.(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對

5、于函數(shù)f：AB，其值域是集合B.()(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)()(3)函數(shù)是一種特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，則對應f可看作從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改編1若函數(shù)yf(x)的定義域為Mx|2x2，值域為Ny|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖像可能是()ABC DB由函數(shù)定義可知，選項B正確2函數(shù)y的定義域為()A.B(，3)(3，)C.(3，)D(3，)C由題意知解得x且x3.3下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1Dy1By1x1，且函

6、數(shù)定義域為R，故選B.4設函數(shù)f(x)則f(f(3)_.f(3)，f(f(3)f11.5已知函數(shù)f(x)，若f(a)5，則實數(shù)a的值為_12由f(a)5得5，解得a12.(對應學生用書第10頁)考點1求函數(shù)的定義域已知函數(shù)解析式求定義域已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構(gòu)成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可1.(2019濟南模擬)函數(shù)yln(2x)的定義域為()A(0,2)B0,2)C(0,

7、1D0,2B由題意知，x0且2x0，解得0x2，故其定義域是0,2)2函數(shù)f(x)的定義域為_(2，)要使函數(shù)f(x)有意義，則(log2x)210，即log2x1或log2x1，解得x2或0x，故所求函數(shù)的定義域是(2，)逆向問題若函數(shù)f(x)的定義域為x|1x2，則ab的值為_函數(shù)f(x)的定義域為x|1x2不等式ax2abxb0的解集為x|1x2可知a0，不等式化為a(x1)(x2)0，即ax23ax2a0.即ab.求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡，求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符合“”連接如T2.抽象函數(shù)的定義域抽象函數(shù)的

8、定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a，b，則復合函數(shù)f(g(x)的定義域由ag(x)b求出(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a，b，則f(x)的定義域為g(x)在xa，b時的值域已知函數(shù)f(x)的定義域是0,4，則F(x)f(x1)f(x1)的定義域是_1,3由題意知解得1x3.故F(x)f(x1)f(x1)的定義域為1,3逆向問題已知函數(shù)yf(x1)的定義域為，則函數(shù)yf(x)的定義域為_1，1因為f(x1)的定義域為，所以1x11，所以函數(shù)yf(x)的定義域為1，1函數(shù)f(g(x)的定義域為自變量x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍(如本例逆向問題)1.函數(shù)f(x)lg(

9、3x1)的定義域是()A. B.C. D.A由題意可知解得x1，故選A.2函數(shù)f(x1)的定義域為0,2 020，則函數(shù)g(x)的定義域為_2,1)(1,2 018函數(shù)f(x1)的定義域為0，2 020，1x12 019.要使函數(shù)g(x)有意義，則解得2x2 018且x1.函數(shù)g(x)的定義域為2,1)(1,2 0183若函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R，則實數(shù)a的取值范圍為_2,2函數(shù)f(x)的定義域為R，a240，即2a2.考點2求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的四種方法及適用條件(1)待定系數(shù)法先設出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出

10、相應的待定系數(shù)(2)換元法對于形如yf(g(x)的函數(shù)解析式，令tg(x)，從中求出x(t)，然后代入表達式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍(3)配湊法由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)解方程組法已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)(1)一題多解已知二次函數(shù)f(2x1)4x26x5，求f(x)；(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，求f(x)解(1)法一：(待定系數(shù)法)因為f(x)是二次

11、函數(shù)，所以設f(x)ax2bxc(a0)，則f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因為f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)法二：(換元法)令2x1t(tR)，則x，所以f(t)465t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)法三：(配湊法)因為f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)(2)解方程組法由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x，即f(x).故f(x)的解析式是f(x)(xR)謹防求函數(shù)解析式的兩種失誤(1)在求函數(shù)解

12、析式時，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域問題求出解析式后要標注x的取值范圍(2)利用換元法求解析式時要注意新元的取值范圍如已知f()x1，求函數(shù)f(x)的解析式，可通過換元的方法得f(x)x21，函數(shù)f(x)的定義域是0，)，而不是(，)1.如果f，則當x0且x1時，f(x)等于()A. B.C. D.1B(換元法)令t，得x(t0且t1)，f(t)(t0且t1)，f(x)(x0且x1)2已知f，則f(x)()A(x1)2B(x1)2Cx2x1Dx2x1C(配湊法)f1，所以f(x)x2x1.3已知f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_.2x(x0)(解方程組法)2f(x)f3x，把中

13、的x換成，得2ff(x).聯(lián)立可得解此方程組可得f(x)2x(x0)4已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式解(待定系數(shù)法)設f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)考點3分段函數(shù)求函數(shù)值解決分段函數(shù)有關(guān)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題(1)(2019合肥模擬)已知函數(shù)f(x)則f(f(1)()A B2 C4 D11(2

14、)設函數(shù)f(x)則f(5)的值為()A7 B1 C0 D.(1)C(2)D(1)因為f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故選C.(2)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故選D.求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值(2)當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值(3)當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點教師備選例題已知函數(shù)f(x)則f的值為()A1B1C.D.B依題意得ff1f112cos2221.故選B.求參數(shù)或自變量的值解決此類問題

15、時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可(1)已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)_.(2)設函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則a_.(1)(2)(1)當a1時，f(a)2a23，無解；當a1時，由f(a)log2(a1)3，得a18，解得a7，所以f(6a)f(1)212.(2)當a0時，f(a)a20，f(f(a)a42a222，得a(a0與a舍去)當a0時，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程無解故a.求解本題的關(guān)鍵是就a的取值討論f(a)的情形，另本題也可作出f

16、(x)的圖像，數(shù)形結(jié)合求解，即f(a)0或f(a)2，從而求得a的值分段函數(shù)與方程、不等式問題解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論如果分段函數(shù)的圖像比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖像后，結(jié)合圖像求解(2018全國卷)設函數(shù)f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是()A(，1B(0，)C(1,0)D(，0)D當x0時，函數(shù)f(x)2x是減函數(shù)，則f(x)f(0)1.作出f(x)的大致圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知，要使f(x1)f(2x)，則需或所以x0，故選D.本例借助圖像較直觀地求解得出不等式的解集，另注意求解時要思考全面，需考慮變量可能落在同一區(qū)間，也

17、可能落在不同區(qū)間的情況教師備選例題設函數(shù)f(x)則滿足f(x)f1的x的取值范圍是_根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分情況討論，當x0時，則f(x)fx1x11，解得x0.當x0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)與圖像可得，f(x)f1恒成立，所以x的取值范圍是.1.已知f(x)則ff的值等于()A2 B4 C2 D4B由題意得f2，fff2，所以ff4.2已知函數(shù)f(x)若實數(shù)a滿足f(a)f(a1)，則f()A2B4 C6D8D由題意得a0.當0a1時，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，則ff(4)8，當a1時，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立故選D.3已知函數(shù)f(x)則不

18、等式f(x)1的解集為()A(，2B(，0(1,2C0,2D(，01,2D當x1時，不等式f(x)1為log2x1，即log2xlog22，函數(shù)ylog2x在(0，)上單調(diào)遞增，1x2.當x1時，不等式f(x)1為1，10，0，0，x0或x1(舍去)，f(x)1的解集是(，01,2故選D.課外素養(yǎng)提升數(shù)學抽象函數(shù)的新定義問題(對應學生用書第12頁)以學習過的函數(shù)相關(guān)知識為基礎(chǔ)，通過一類問題共同特征的“數(shù)學抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題【典例】(2019深圳模擬)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖像恰好經(jīng)過n(nN*)個整點，則稱

19、函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)給出下列函數(shù)：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)；(x)ln x.其中是一階整點函數(shù)的是()ABCDC對于函數(shù)f(x)sin 2x，它的圖像(圖略)只經(jīng)過一個整點(0,0)，所以它是一階整點函數(shù)，排除D；對于函數(shù)g(x)x3，它的圖像(圖略)經(jīng)過整點(0,0)，(1,1)，所以它不是一階整點函數(shù)，排除A；對于函數(shù)h(x)，它的圖像(圖略)經(jīng)過整點(0,1)，(1,3)，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B.故選C.評析本題意在考查考生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是緊扣新定義的函數(shù)的含義，學會語言的翻譯、新舊知識的轉(zhuǎn)化，便

20、可使問題順利獲解如本例，若能把新定義的一階整點函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖像恰好經(jīng)過1個整點，問題便迎刃而解【素養(yǎng)提升練習】1若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為yx21，值域為1,3的同族函數(shù)有()A1個B2個C3個D4個C由x211得x0，由x213得x，所以函數(shù)的定義域可以是0，0，0，故值域為1,3的同族函數(shù)共有3個2若定義在R上的函數(shù)f(x)當且僅當存在有限個非零自變量x，使得f(x)f(x)，則稱f(x)為“類偶函數(shù)”，則下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是()Af(x)cos xBf(x)sin xCf(x)x22xDf(x)x32xDA中函數(shù)為偶函數(shù)，則在定義域內(nèi)均滿足f(x)f(x)，不符合題意；B中，當xk(kZ)時，滿足f(x)f(x)，不符合題意；C中，由f(x)f(x)，得x22xx22x，解得x0，不符合題意；D中，由f(x)f(x)，得x32xx32x，解得x0或x，滿足題意，故選D.- 12 -