2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算教學(xué)案 文 北師大版

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1、第5章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章在備考中一般為2個客觀題. 2.考查內(nèi)容 (1)對向量的考查，主要考查平面向量的線性運算、坐標(biāo)運算、向量的平行與垂直、向量的數(shù)量積及應(yīng)用，難度為容易或中檔. (2)高考主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運算，其中復(fù)數(shù)的運算是高考的熱點，一般為選擇題. 3.備考策略 (1)深刻理解并掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積、向量的模及夾角的運算. (2)掌握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義及四則運算. 第一節(jié)　平面向量的概念及線性運

2、算 [最新考綱]　1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． (對應(yīng)學(xué)生用書第82頁) 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：長度相等且方向相反的向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零

3、向量． (6)向量平行或共線：如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一向量平行． 2．向量的線性運算 向量 運算 定義 法則 (或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<

4、0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 (1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線． (2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 1．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則＝(＋)． 2.＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))O不在直線AB上，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1. 3．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋

5、…＋An－1An＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 4．與非零向量a共線的單位向量為±. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反． (　　) (2)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上． (　　) (3)若a∥b，b∥c，則a∥c. (　　) (4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．如圖， ABCD的對角線交于點M，若＝a，＝b，用a，b表示為(　　) A.a＋b

6、 B.a－b C．－a－b D．－a＋b D　[由題意可知＝－＝b－a，又＝2， ∴＝(b－a)＝b－a，故選D.] 2．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b. 若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．] 3．已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示) b－a?。璦－b　[如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.] 4．在平行

7、四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________． 矩形　[如圖，因為＋＝，－＝，所以||＝||. 由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．] (對應(yīng)學(xué)生用書第83頁) ⊙考點1　平面向量的概念 　辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點 (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度． (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制． (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等． (4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度． (5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線． 　1.給出下列命題： ①兩個具有公共終點的向量一定是共

8、線向量； ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 A　[①錯誤．兩向量共線要看其方向而不是起點與終點．②正確．因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。坼e誤．當(dāng)a＝0時，無論λ為何值，λa＝0.④錯誤．當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，a與b可以是任意向量．] 2．給出下列命題： ①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若|a|＝|b|，則a＝b或

9、a＝－b； ③若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命題的序號是________． ③　[①錯誤．兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點． ②錯誤．|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反． ③正確．因為＝，所以||＝||且∥； 又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④錯誤．當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．]

10、(1)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等． (2)在研究向量的有關(guān)問題時，一定要結(jié)合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧． ⊙考點2　平面向量的線性運算 　向量線性運算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解． 　向量的線性運算 (1)(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　

11、　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ (2) (2019·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，＝3，F(xiàn)為AE的中點，則＝(　　) A．－ B．－＋ C．－＋ D．－ (1)A　(2)B　[(1)＝－＝－＝－×(＋)＝－，故選A. (2)根據(jù)平面向量的運算法則得＝＋， ＝，＝－. 因為＝＋，＝， 所以＝－＋＝－＋，故選B.] 　平面向量的線性運算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用

12、已知向量表示出來求解． 　根據(jù)向量線性運算求參數(shù) 　(2019·山西師大附中模擬)在△ABC中，＝，P是直線BN上一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 B　[∵＝，∴＝5. 又＝m＋， ∴＝m＋2， 由B，P，N三點共線可知，m＋2＝1， ∴m＝－1.] 　與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值． 　1.(2019·西寧模擬)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量，表示為(　　) A

13、.＋ B.－ C.＋ D.－ B　[由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得＝－＝－＝(＋)－ ＝－ ＝－.] 2．(2019·棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 D　[由＝λ可知－＝λ(－)， ∴＝＋， 又＝－＋， ∴ 解得λ＝－3，故選D.] 3．在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. ?。＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－ ＝x＋y， ∴x＝，y＝－.] ⊙考點3　共線向量定理的應(yīng)用 　共線向量定理的三個應(yīng)用

14、 證明向量共線 對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線 證明三點共線 若存在實數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點共線 求參數(shù)的值 利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值 　設(shè)兩個非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解](1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線， 又∵它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)

15、∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是兩個不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0，∴k＝±1. [母題探究] 若將本例(1)中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？ [解]?。?a＋mb)＋3(a－b) ＝4a＋(m－3)b， 即＝4a＋(m－3)b. 若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)λ，使＝λ. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)． ∴解得m＝7. 故當(dāng)m＝7時，A，B，D三點共線． 　利用向量共線定理解

16、決問題應(yīng)注意兩點 (1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線． 　1.在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對 C　[由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因為與不平行，所以四邊形ABCD是梯形．] 2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與向量b共線，則(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 D　[因為向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因為向量a和b共線，存在實數(shù)k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.] 3．已知O為△ABC內(nèi)一點，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三點共線，則t＝(　　) A. B. C. D. B　[設(shè)E是BC邊的中點，則(＋)＝，由題意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因為B，O，D三點共線，所以＋＝1，解得t＝，故選B.] - 10 -