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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.1 直線(xiàn)與方程教案 理 新人教A版
高考導(dǎo)航
考試要求
重難點(diǎn)擊
命題展望
1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線(xiàn)位置的幾何要素.
2.理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率的計(jì)算公式.
3.能根據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率判定這兩條直線(xiàn)平行或垂直.
4.掌握確定直線(xiàn)位置的幾何要素，掌握直線(xiàn)方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).
6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行線(xiàn)間的距離.
7.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)
2、準(zhǔn)方程與一般方程.
8.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
9.能用直線(xiàn)和圓的方程解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.
11.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.
本章重點(diǎn)：1.傾斜角和斜率的概念；2.根據(jù)斜率判定兩條直線(xiàn)平行與垂直；3.直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程、一般式方程；4.兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；5.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和兩條平行直線(xiàn)間的距離的求法；6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；7.能根據(jù)給定直線(xiàn)，圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.
本章難點(diǎn)：1.直線(xiàn)的斜
3、率與它的傾斜角之間的關(guān)系；2.根據(jù)斜率判定兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系；3.直線(xiàn)方程的應(yīng)用；4.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)；5.圓的方程的應(yīng)用；6.直線(xiàn)與圓的方程的綜合應(yīng)用.
本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線(xiàn)等知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查.
直線(xiàn)和圓的考查，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題和中檔題；如果和圓錐曲線(xiàn)一起考查，難度比較大.同時(shí)，對(duì)空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大，一般為選擇題或者填空題.本章知識(shí)點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.
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8.1 直線(xiàn)與方程
典例精析
4、
題型一 直線(xiàn)的傾斜角
【例1】直線(xiàn)2xcos α－y－3＝0，α∈[，]的傾斜角的變化范圍是( )
A.[，] B.[，]
C.[，] D.[，]
【解析】直線(xiàn)2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈[，]，所以≤cos α≤，k＝2cos α∈[1，].
設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[，]，即傾斜角的變化范圍是[，]，故選B.
【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時(shí)，要注意傾斜角的范圍.
【變式訓(xùn)練1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，當(dāng)m∈ 時(shí)，直線(xiàn)
5、MN的傾斜角為銳角；當(dāng)m＝ 時(shí)，直線(xiàn)MN的傾斜角為直角；當(dāng)m∈ 時(shí)，直線(xiàn)MN的傾斜角為鈍角.
【解析】直線(xiàn)MN的傾斜角為銳角時(shí)，k＝＝＞0?m＜－5或m＞1；
直線(xiàn)MN的傾斜角為直角時(shí)，2m＋3＝m－2?m＝－5；
直線(xiàn)MN的傾斜角為鈍角時(shí)，k＝＝＜0?－5＜m＜1.
題型二 直線(xiàn)的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直線(xiàn)l的傾斜角是直線(xiàn)AB的傾斜角的2倍，求直線(xiàn)l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝＝，
設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為θ，則tan θ＝，
l的傾斜角為2θ，tan 2θ＝＝＝.
所以直線(xiàn)l的斜率為.
【點(diǎn)撥
6、】直線(xiàn)的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念，扎實(shí)地記住計(jì)算公式，傾斜角往往會(huì)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)α是直線(xiàn)l的傾斜角，且有sin α＋cos α＝，則直線(xiàn)l的斜率為( )
A. B. C.－ D.－或－
【解析】選C.sin α＋cos α＝?sin αcos α＝－＜0?
sin α＝，cos α＝－或cos α＝，sin α＝－(舍去)，
故直線(xiàn)l的斜率k＝tan α＝＝－.
題型三 直線(xiàn)的方程
【例3】求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程.
(1)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等；
(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)
7、(2,1)，且原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2.
【解析】(1)當(dāng)截距為0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，直線(xiàn)方程是2x－3y＝0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為＋＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直線(xiàn)方程為x＋y－5＝0.
故所求直線(xiàn)方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程x－2＝0合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，則設(shè)直線(xiàn)方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程為3x＋4y－10＝0.
故所求直線(xiàn)方程為x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【點(diǎn)撥】截距可以為0，斜率也可以不存在，故均需分情況討論.
【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，且橫、縱截距互為
8、相反數(shù)的直線(xiàn)方程.
【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為y＝kx.
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－.此時(shí)直線(xiàn)方程為y＝－x.
當(dāng)橫、縱截距都不是0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為＋＝1，
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此時(shí)方程為x－y－7＝0.
綜上，所求直線(xiàn)方程為4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
題型四 直線(xiàn)方程與最值問(wèn)題
【例4】過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線(xiàn)l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.
【解析】方法一：設(shè)直線(xiàn)方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，
由于點(diǎn)P在直線(xiàn)上，所以＋＝1.
·≤
9、()2＝，
當(dāng)＝＝時(shí)，即a＝4，b＝2時(shí)，·取最大值，
即S△AOB＝ab取最小值4，
所求的直線(xiàn)方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：設(shè)直線(xiàn)方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A(，0)，直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為B(0，－2k＋1)，
由題意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝(1－2k) ·＝[(－)＋(－4k)＋4]≥[2＋4]＝4.
當(dāng)－＝－4k，即k＝－時(shí)，S△AOB有最小值，
所求的直線(xiàn)方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【點(diǎn)撥】求直線(xiàn)方程，若已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式；若已知直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式；若
10、已知直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸相交，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線(xiàn)，一般考慮一般式.
【變式訓(xùn)練4】已知直線(xiàn)l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍.
【解析】由直線(xiàn)l的方程得其斜率k＝.
若m＝0，則k＝0；
若m＞0，則k＝≤＝，所以0＜k≤；
若m＜0，則k＝＝－≥－＝－，所以－≤k＜0.
綜上，－≤k≤.
總結(jié)提高
1.求斜率一般有兩種類(lèi)型：其一，已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)，根據(jù)k＝求斜率；其二，已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值，根據(jù)k＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在時(shí)的情形.
2.求傾斜角時(shí)，要注意直線(xiàn)傾斜角的范圍是[0，π).
3.求直線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目條件，選擇合適的直線(xiàn)方程形式，從而使求解過(guò)程簡(jiǎn)單明確.設(shè)直線(xiàn)方程的截距式，應(yīng)注意是否漏掉過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)；設(shè)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式時(shí)，應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線(xiàn).
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