2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓 第2課時 直線與橢圓的綜合問題教學(xué)案 文 北師大版

第2課時直線與橢圓的綜合問題(對應(yīng)學(xué)生用書第156頁)考點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程(3)當(dāng)0時，直線與橢圓相交；當(dāng)0時，直線與橢圓相切；當(dāng)0時，直線與橢圓相離1.若直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am1Bm0C0m5且m1Dm1且m5D直線ykx1恒過定點(diǎn)(0,1)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓1內(nèi)部或橢圓上，從而1，又m0，則m1，因?yàn)闄E圓1中，m5.所以m的取值范圍是m1且m5，故選D.2過點(diǎn)M(4,4)作橢圓1的切線，切點(diǎn)N在第一象限，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，則直線NF的斜率為_設(shè)N(x，y)，直線MN的斜率為k.M(4,4)，則直線MN的方程為y4k(x4)，代入橢圓方程消去y，整理得(34k2)x28mkx(4m212)0，其中m4k4，由于相切，所以0，所以m24k23，所以解得k，代入求得切點(diǎn)N，所以直線NF的斜率為kNF.3已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)當(dāng)>0，即3<m<3時，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點(diǎn)(2)當(dāng)0，即m±3時，方程有兩個相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)(3)當(dāng)<0，即m<3或m>3時，方程沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解這時直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)T2中求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，可直接使用求根公式x1x2(其中a，b分別是一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù))考點(diǎn)2直線與橢圓相交的弦長問題弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率)(3)若直線的斜率不存在，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)，再求弦長(2018·北京高考改編)已知橢圓M：1(ab0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點(diǎn)A，B.(1)求橢圓M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值解(1)由題意得解得a，b1.所以橢圓M的方程為y21.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，由題意知36m216(3m23)0，即2m2，此時x1x2，x1x2.所以|AB|.當(dāng)m0，即直線l過原點(diǎn)時，|AB|最大，最大值為.利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有兩個不同解的情況下進(jìn)行的，不要忽略0.教師備選例題直線經(jīng)過橢圓1的左焦點(diǎn)，傾斜角為60°，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦長|AB|_.由題意知直線方程為y(x2)，代入橢圓方程消元整理得5x216x0，所以x0，或x，所以交點(diǎn)A(0,2)，B，所以|AB|.1.已知橢圓y21與直線yxm交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|，則實(shí)數(shù)m的值為()A±1B± C.D±A由消去y并整理，得3x24mx2m220.由題意知16m212(2m22)0，即m.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由題意，得|AB|，解得m±1.2橢圓E：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線AB的斜率為，求ABF2的面積解(1)由題意知，4a8，所以a2，又e，所以，c1，所以b22213，所以橢圓E的方程為1.(2)設(shè)直線AB的方程為y(x1)，由得5x28x0，解得x10，x2，所以y1，y2.所以Sc·|y1y2|1×.考點(diǎn)3弦中點(diǎn)問題處理中點(diǎn)弦問題常用的兩種方法(1)點(diǎn)差法設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率(2)根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解(1)在橢圓1中，以點(diǎn)M(1,2)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為_(2)(2019·南寧模擬)已知橢圓1(ab0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1)，則橢圓的離心率e_.(1)9x32y730(2)(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程得兩式相減得0，所以，即，因?yàn)閤1x22，y1y24，所以，故該直線方程為y2(x1)，即9x32y730.(2)設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得0，所以·，所以，于是橢圓的離心率e.用點(diǎn)差法求參數(shù)的值(或范圍)時，要檢驗(yàn)直線與橢圓是否相交1.已知橢圓y21，過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為()A9xy50B9xy40Cx9y50Dx9y40C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式作差得(y2y1)(y2y1)0，因?yàn)閤2x11，y2y11，kAB，代入后求得kAB，所以弦所在的直線方程為y，即x9y50.2焦點(diǎn)為F(0,5)，并截直線y2x1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)，直線被橢圓所截弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)由題意，可得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，.將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得兩式相減并化簡，得·2×3，所以a23b2，又c2a2b250，所以a275，b225，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.考點(diǎn)4橢圓與向量的綜合問題解決橢圓與向量有關(guān)問題的方法(1)將向量條件用坐標(biāo)表示，再利用函數(shù)、方程知識建立數(shù)量關(guān)系(2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系(3)利用向量運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系解題(2019·長春模擬)已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點(diǎn)E.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若2，求直線l的斜率k的值解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，由解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意得直線l的方程為yk(x1)(k0)，聯(lián)立整理得y2y90，則1440，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，則34k28，解得k±，又k0，所以k.解答本題應(yīng)注意：(1)根據(jù)2，確定y1與y2的關(guān)系，從而確定直線與橢圓方程聯(lián)立消去x；(2)根據(jù)y12y2得到y(tǒng)1y2y2，(y1y2)2y，從而y1y22(y1y2)2；(3)也可以根據(jù)求出y1，y2，再利用y1y2求解教師備選例題已知橢圓C：1(ab0)，e，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且(其中1)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值解(1)由橢圓的焦距為2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)若直線ABx軸，則x1x21，不符合題意；當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)l的方程為yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判別式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0，x1x22×，k2.將k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.(2019·保定模擬)設(shè)點(diǎn)P在以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓C：1(ab0)上(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過F2作直線m交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.若1，2，且121，求1與2的值解(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓C：1(ab0)上，所以2a2，所以a.又因?yàn)閏2，所以b，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A，B，M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)因?yàn)?，所以(x1，y1y0)1(2x1，y1)，所以x1，y1，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得1.去分母整理得18601305y0.同理，由2可得18602305y0，1，2是方程18260305y0的兩個根則12，又121，二者聯(lián)立解得13，2，或1，23.- 9 -