《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I)
一、填空題
1.(xx·全國(guó)Ⅱ卷)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝________.
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
答案 42
2.已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數(shù)列，則xyz的值為________.
解析 由等比中項(xiàng)知y2＝3，∴y＝±，
又∵y與
2、－1，－3符號(hào)相同，∴y＝－，y2＝xz，
所以xyz＝y(tǒng)3＝－3.
答案?。?
3.在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么這個(gè)數(shù)列的公比為________.
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由＝＝＝＝＝，得q＝2或q＝.
答案 2或
4.(xx·湘潭模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a2·a6＝9a4，a2＝1，則a1的值為________.
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，又a2＝1，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.
答案
5.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等
3、比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于________.
解析 依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20).
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
故S20＝－20或S20＝30，
又S20＞0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80.S40＝150.
答案 150
6.(xx·蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S1，S3，S2成等差數(shù)列，則{an}的公比q等于_______
4、_.
解析 ∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，∴a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2).∵a1≠0，q≠0，∴解得q＝－.
答案 －
7.(xx·哈爾濱一模)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＝16，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________.
解析 正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q＝＝＝2，
a1＝＝2，∴S9＝＝1 022.
答案 1 022
8.(xx·成都診斷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝3S2，a3＝2，則a7＝________.
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，顯然q≠1且q＞0，因?yàn)镾4＝3S2，所以＝，解得
5、q2＝2，因?yàn)閍3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.
答案 8
二、解答題
9.(xx·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2，3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.
解 (1)由已知Sn＝2an－a1，
有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)，
從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，
6、所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故an＝2n.
(2)由(1)得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*).
(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(1)證明 依題意Sn＝4an－3(n∈N*)，
n＝1時(shí)，a1＝4a1－3，解得a1＝1.
因?yàn)镾n＝4an－3，則Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝an－1.
又a1
7、＝1≠0，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.
(2)解 由(1)知an＝，
由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，
得bn＋1－bn＝.
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋
＝3·－1(n≥2).
當(dāng)n＝1時(shí)也滿足，
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3·－1(n∈N*).
(建議用時(shí)：20分鐘)
11.(xx·南通二模)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝4的等比數(shù)列，且4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列，則其公比q等于________.
解析 ∵4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列，∴2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2
8、a1q2，又∵a1＝4，則有q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，∴q＝±1.
答案 ±1
12.(xx·臨沂模擬)數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于________.
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2時(shí)，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1時(shí)，a1＝2適合上式，∴an＝2·3n－1，
故數(shù)列{a}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列.
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).
答案 (9n－1)
13.(xx·沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))數(shù)列{an}
9、是等比數(shù)列，若a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.
解析 由題意得q3＝＝?q＝，
∴an＝a2·qn－2＝，
∴anan＋1＝·＝＝8×，
∴數(shù)列{anan＋1}是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n).
答案 (1－4－n)
14.(xx·江蘇卷節(jié)選)設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列.
(1)證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；
(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；
(1)證明 因?yàn)椋?an＋
10、1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一個(gè)常數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列，
(2)解 不存在，理由如下：
令a1＋d＝a，則a1，a2，a3，a4分別為a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0).
假設(shè)存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列，
則a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.
令t＝，則1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，
化簡(jiǎn)得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.
將t2＝t＋1代入(*)式，
t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，
則t＝－.
顯然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立.
因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列.
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