《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理 北師大版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié) 基本不等式
[最新考綱] 1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題．
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
(3)其中稱(chēng)為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
2．兩個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
(2)ab≤2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，則
(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最
2、小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)．
1．＋≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
2．a(chǎn)b≤2≤.
3．≤≤≤(a＞0，b＞0)．
一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的．( )
(2)若a>0，則a3＋的最小值為2.( )
(3)函數(shù)f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值為4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改編
1．設(shè)x＞0，y＞0
3、，且x＋y＝18，則xy的最大值為( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C [xy≤2＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號(hào)成立．故選C.]
2．若x<0，則x＋( )
A．有最小值，且最小值為2
B．有最大值，且最大值為2
C．有最小值，且最小值為－2
D．有最大值，且最大值為－2
D [因?yàn)閤<0，
所以－x>0，－x＋≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立，
所以x＋≤－2.]
3．函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)的最小值為_(kāi)_______．
4 [當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥
2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2
4、)，即x＝3時(shí)取等號(hào)．]
4．若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是__________m2.
25 [設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場(chǎng)地的面積為y，
則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m，
則y＝x(10－x)≤2＝25，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)，ymax＝25.]
考點(diǎn)1 利用基本不等式求最值
配湊法求最值
配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，即將相關(guān)代數(shù)式
進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式(如：湊成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)(2
5、019·大連模擬)已知a，b是正數(shù)，且4a＋3b＝6，則a(a＋3b)的最大值是( )
A． B．
C．3 D．9
(2)函數(shù)y＝(x>1)的最小值為_(kāi)_______．
(3)已知x>，則y＝4x＋的最小值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________.
(1)C (2)2＋2 (3)7 [(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2＝×2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝a＋3b，即a＝1，b＝時(shí)，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝＋1時(shí)，等號(hào)成
6、立．
(3)∵x>，∴4x－5>0.
y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.
當(dāng)且僅當(dāng)4x－5＝，即x＝時(shí)上式“＝”成立．
即x＝時(shí)，ymin＝7.]
[母題探究] 把本例(3)中的條件“x>”，改為“x<”，則y＝4x＋的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________.
3 1 [因?yàn)閤<，所以5－4x>0，則y＝4x＋＝－＋5≤－2＋5＝－2＋5＝3.
當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．
故y＝4x＋的最大值為3.此時(shí)x＝1.]
(1)本例(1)解答易忽視兩項(xiàng)和為定值的條件，常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法為：a(a＋3b)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a
7、＝，b＝0時(shí)，a(a＋3b)的最大值為，從而錯(cuò)選B.
(2)應(yīng)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法求最值時(shí)，應(yīng)注意檢驗(yàn)基本不等式的前提條件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)．
常數(shù)代換法求最值
常數(shù)代換法求最值的步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))．
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.
(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為_(kāi)_______．
4 [因?yàn)閍＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．]
[母題探
8、究]
1．若本例條件不變，求的最小值．
[解]?。剑健?
＝5＋2≥5＋4＝9.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立．
2．若將本例條件改為a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．
[解] 因?yàn)閍＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
常數(shù)代換法主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求
＋的最值”的問(wèn)題，先將＋轉(zhuǎn)化為·，再用基本不等式求最值．
[教師備選例題]
設(shè)a＋b＝2，b>0，則＋取最小值時(shí)，a的值為_(kāi)_______．
－2 [∵a＋b＝2，b>0，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立．又
9、a＋b＝2，b>0，
∴當(dāng)b＝－2a，a＝－2時(shí)，＋取得最小值．]
(2019·深圳福田區(qū)模擬)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，則
＋的最小值為( )
A.＋ B.＋
C.3＋2 D.＋
A [已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，則＋＝[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，a＋b＝2時(shí)取等號(hào)．
則＋的最小值為＋.故選A.]
消元法求最值
對(duì)于含有多個(gè)變量的條件最值問(wèn)題，若直接運(yùn)用基本不等式無(wú)法求最值時(shí)，可嘗試減少變量的個(gè)數(shù)，即根據(jù)題設(shè)條件建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最
10、值問(wèn)題，即減元(三元化二元，二元化一元)．
(2019·嘉興模擬)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，則a＋2b的最小值為( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
A [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
∴a＝＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5
≥5＋2＝5＋2.
當(dāng)且僅當(dāng)2(b－2)＝，即b＝2＋時(shí)取等號(hào)．
∴a＋2b的最小值為5＋2.故選A.]
求解本題的關(guān)鍵是將等式“2a＋b＝ab－1”變形為
“a＝”，然后借助配湊法求最值．
(2019·新余模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2－2ab＋9b2
－c＝0，則當(dāng)取得最大
11、值時(shí)，＋－的最大值為( )
A．3 B．
C．1 D．0
C [由正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3b時(shí)，取最大值.
又因?yàn)閍2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此時(shí)c＝12b2，
所以＋－＝≤＝1，
故最大值為1.]
利用兩次基本不等式求最值
當(dāng)運(yùn)用一次基本不等式無(wú)法求得代數(shù)式的最值時(shí)，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且注意取等號(hào)的條件的一致性．
已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值為_(kāi)_____．
4 [由題意a＞b＞0，則a－b＞0，
所以b(a－b)≤2＝
12、，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)，所以a2＋的最小值為4.]
由于b＋(a－b)為定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出題中所給代數(shù)式的最小值．
若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為_(kāi)___．
4 [因?yàn)閍b＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是4.]
考點(diǎn)2 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題
利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)
(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．
(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．
(3)在求函
13、數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．
經(jīng)測(cè)算，某型號(hào)汽車(chē)在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油量
y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為y＝
(1)該型號(hào)汽車(chē)的速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最少？
(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號(hào)汽車(chē)勻速?gòu)腁地駛向B地，則汽車(chē)速度為多少時(shí)總耗油量最少？
[解] (1)當(dāng)x∈[50,80)時(shí)，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以當(dāng)x＝65時(shí)，y取得最小值，最小值為×675＝9.
當(dāng)x∈[80,120]時(shí)，函數(shù)y＝12－單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＝12
14、0時(shí)，y取得最小值，最小值為12－＝10.
因?yàn)?<10，所以當(dāng)x＝65，即該型號(hào)汽車(chē)的速度為65 km/h時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最少．
(2)設(shè)總耗油量為l L，由題意可知l＝y(tǒng)·，
①當(dāng)x∈[50,80)時(shí)，l＝y(tǒng)·＝≥＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝70時(shí)，l取得最小值，最小值為16.
②當(dāng)x∈[80,120]時(shí)，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)，
所以當(dāng)x＝120時(shí)，l取得最小值，最小值為10.
因?yàn)?0<16，所以當(dāng)速度為120 km/h時(shí)，總耗油量最少．
當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)
15、性求解．
(2019·上海模擬)經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，是目前大多數(shù)工
廠(chǎng)、企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資在單位時(shí)間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過(guò)某段時(shí)間后，存儲(chǔ)量消耗下降到零，此時(shí)開(kāi)始訂貨并隨即到貨，然后開(kāi)始下一個(gè)存儲(chǔ)周期，該模型適用于整批間隔進(jìn)貨、不允許缺貨的存儲(chǔ)問(wèn)題，具體如下：年存儲(chǔ)成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)＝＋，其中A為年需求量，B為
每單位物資的年存儲(chǔ)費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi). 某化工廠(chǎng)需用甲醇作為原料，年需求量為6 000噸，每噸存儲(chǔ)費(fèi)為120元/年，每次訂貨費(fèi)為2 500元．
(1)若該化工廠(chǎng)每次訂購(gòu)300噸甲醇，求年存儲(chǔ)成本費(fèi)；
(2)每次需訂購(gòu)多少?lài)?/p>
16、甲醇，可使該化工廠(chǎng)年存儲(chǔ)成本費(fèi)最少？最少費(fèi)用為多少？
[解] (1)因?yàn)槟甏鎯?chǔ)成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)＝＋，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲(chǔ)費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi)．
由題意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500，
所以年存儲(chǔ)成本費(fèi)T(x)＝60x＋，
若該化工廠(chǎng)每次訂購(gòu)300噸甲醇，
所以年存儲(chǔ)成本費(fèi)為
T(300)＝60×300＋＝68 000.
(2)因?yàn)槟甏鎯?chǔ)成本費(fèi)T(x)＝60x＋，x＞0，
所以T(x)＝60x＋≥2＝60 000，
當(dāng)且僅當(dāng)60x＝，即x＝500時(shí)，取等號(hào)．
所以每次需訂購(gòu)500噸甲醇，可使該化工廠(chǎng)年存
17、儲(chǔ)成本費(fèi)最少，最少費(fèi)用為60 000元．
考點(diǎn)3 基本不等式的綜合應(yīng)用
基本不等式的綜合應(yīng)用的2類(lèi)問(wèn)題
(1)與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯的最值問(wèn)題：此類(lèi)問(wèn)題常以函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)為載體，以基本不等式為解題工具，求解最值或取值范圍．
(2)求參數(shù)值或取值范圍：對(duì)于此類(lèi)題目，要觀(guān)察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)關(guān)系式成立的條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
(1)(2019·臺(tái)州模擬)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足＋＝1，且存在這樣的x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－1,4)
B．(－4,1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪
18、(0，＋∞)
(2)(2019·衡陽(yáng)一模)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)．函數(shù)y＝[x](x∈R)稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域是( )
A．{0,1} B．(0,1]
C．(0,1) D．{－1,0,1}
(3)(2019·定遠(yuǎn)模擬)已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos C＝ccos B，則＋＋的最小值為( )
A. B.
C. D.2
(1)C (2)A (3)A [(1)∵正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足＋＝1
19、，
∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1，即x＝2，y＝8時(shí)取等號(hào)，∵存在x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，
∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，故選C.
(2)f(x)＝＝，
∵2x＋≥2，∴0＜f(x)≤1，
則函數(shù)y＝[f(x)]的值域?yàn)閧0,1}，故選A.
(3)∵2bcos C＝ccos B，
∴2sin Bcos C＝sin Ccos B，
∴tan C＝2tan B．又A＋B＋C＝π，
∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝－＝－＝，
∴＋＋＝＋＋
＝tan B＋.
又∵在銳角△ABC中，tan B＞0，
20、∴tan B＋≥2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)tan B＝時(shí)取等號(hào)，
∴min＝，故選A.]
條件不等式的最值問(wèn)題，常通過(guò)條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．在轉(zhuǎn)化過(guò)程中相應(yīng)知識(shí)起到穿針連線(xiàn)的作用．
1.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為( )
A．9 B．12
C．18 D．24
B [由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3b時(shí)等號(hào)成立)，
∴m≤12，∴m的最大值為12.]
2．兩圓x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0恰有一條公切線(xiàn)，若m∈R，n∈R，且mn≠0，則＋的最小值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [由題意可知兩圓內(nèi)切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0化為x2＋(y－m)2＝1，x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0化為(x－2n)2＋y2＝9，故＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，＋＝(4n2＋m2)＝2＋＋≥2＋2＝4.]
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn(n∈N＋)，若a1＝d＝1，則的最小值是________．
[an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號(hào)．
∴的最小值是.]
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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理 北師大版
