2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 概率 第4節(jié) 概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的綜合問題教學(xué)案 文 北師大版

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1、第四節(jié)　概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的綜合問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第197頁) ⊙考點(diǎn)1　概率與統(tǒng)計的綜合問題 　破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的“三步曲” 　經(jīng)過多年的努力，炎陵黃桃在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路，成為炎陵部分農(nóng)民脫貧致富的好產(chǎn)品．為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機(jī)摘下了100個黃桃進(jìn)行測重，其質(zhì)量分別在區(qū)間[200,500]內(nèi)(單位：克)，統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示： (1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[350,400)，[400,450)的黃桃中隨機(jī)抽取5個，再從這5個黃桃中隨機(jī)抽2個，求這2個黃桃質(zhì)量至少有一個不小于400克的概率； (2)以各

2、組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的黃桃樹上大約還有100 000個黃桃待出售，某電商提出兩種收購方案： A．所有黃桃均以20元/千克收購； B．低于350克的黃桃以5元/個收購，高于或等于350克的以9元/個收購． 請你通過計算為該村選擇收益最好的方案． (參考數(shù)據(jù)：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5) [解](1)由題得黃桃質(zhì)量在[350,400)和[400,450)的比例為3∶2， ∴應(yīng)分別在質(zhì)量為[350,400)和[400,450)的黃桃中各抽取3個和2個． 記

3、抽取質(zhì)量在[350,400)的黃桃為A1，A2，A3，質(zhì)量在[400,450)的黃桃為B1，B2， 則從這5個黃桃中隨機(jī)抽取2個的情況共有以下10種： A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2. 其中質(zhì)量至少有一個不小于400克的有7種情況，故所求概率為. (2)方案B好，理由如下： 由頻率分布直方圖可知，黃桃質(zhì)量在[200,250)的頻率為50×0.001＝0.05， 同理，黃桃質(zhì)量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的頻率依次為0.16,0.24,0.3，0

4、.2，0.05. 若按方案B收購： ∵黃桃質(zhì)量低于350克的個數(shù)為(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000個， 黃桃質(zhì)量不低于350克的個數(shù)為55 000個． ∴收益為45 000×5＋55 000×9＝720 000元． 若按方案A收購： 根據(jù)題意各段黃桃個數(shù)依次為5 000,16 000,24 000，30 000，20 000,5 000，于是總收益為(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×20÷1 000＝709 000(元)． ∴方案B的收益比方案A的收益高

5、，應(yīng)該選擇方案B. 　解答本例第(2)問時，方案A需要算出黃桃的總質(zhì)量，方案B需要求出黃桃質(zhì)量低于350克和不低于350克的個數(shù)． [教師備選例題] 　(2017·北京高考)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： (1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率； (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)； (3)已知樣本中有一半男生

6、的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． [解](1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4， 所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4. (2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5， 所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×＝20. (3)由題意可知，樣本

7、中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60， 所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×＝30， 所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60， 女生人數(shù)為100－60＝40， 所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2， 所以根據(jù)分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2. 　(2019·泰安模擬)2018年的政府工作報告強(qiáng)調(diào)，要樹立綠水青山就是金山銀山理念，以前所未有的決心和力度加強(qiáng)生態(tài)環(huán)境保護(hù)．某地科技園積極檢查督導(dǎo)園區(qū)內(nèi)企業(yè)的環(huán)保落實(shí)情況，并計劃采取激勵措施引導(dǎo)企業(yè)主動落實(shí)環(huán)保措施，下圖給出的是甲、乙兩企業(yè)2012年至2017年在環(huán)保方

8、面投入金額(單位：萬元)的柱狀圖． (1)分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年在環(huán)保方面投入金額的平均數(shù)；(結(jié)果保留整數(shù)) (2)園區(qū)管委會為盡快落實(shí)環(huán)保措施，計劃對企業(yè)進(jìn)行一定的獎勵，提出了如下方案：若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額不超過200萬元，則該年不獎勵；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎勵20萬元；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過300萬元，則該年獎勵50萬元． ①分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年獲得的獎勵之和； ②現(xiàn)從甲企業(yè)這六年中任取兩年對其環(huán)保情況作進(jìn)一步調(diào)查，求這兩年獲得的獎勵之和不低于70萬元的概率． [解](1)由柱狀圖可知，甲企業(yè)這六年在環(huán)保方面的投

9、入金額分別為150,290,350,400,300,400， 其平均數(shù)為×(150＋290＋350＋400＋300＋400)＝315(萬元)； 乙企業(yè)這六年在環(huán)保方面的投入金額分別為100,200,300,230,500,300， 其平均數(shù)為×(100＋200＋300＋230＋500＋300)＝≈272(萬元)， (2)①根據(jù)題意可知，企業(yè)每年所獲得的環(huán)保獎勵t(x)(單位：萬元)是關(guān)于該年環(huán)保投入x(單位：萬元)的分段函數(shù)，即t(x)＝ 所以甲企業(yè)這六年獲得的獎勵之和為：0＋20＋50＋50＋20＋50＝190(萬元)； 乙企業(yè)這六年獲得的獎勵之和為：0＋0＋20＋20＋50＋2

10、0＝110(萬元)． ②由①知甲企業(yè)這六年獲得的獎勵數(shù)如下表： 年份 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 獎勵(單位：萬元) 0 20 50 50 20 50 獎勵共分三個等級，其中獎勵0萬元的只有2012年，記為A； 獎勵20萬元的有2013年，2016年，記為B1，B2； 獎勵50萬元的有2014年，2015年和2017年，記為C1，C2，C3， 故從這六年中任意選取兩年，所有的情況為： (A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C

11、3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15種． 其中獎勵之和不低于70萬元的取法為：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共9種． 故所求事件的概率為P＝＝. ⊙考點(diǎn)2　概率與線性回歸分析的綜合問題 　在求兩變量相關(guān)系數(shù)和兩變量的回歸方程時，由于r和的計算公式比較復(fù)雜，求它們的值時計算量比較大，因此為了計算準(zhǔn)確，可將它們分成幾個部分分別計算，這樣等同于分散難點(diǎn)，各個攻破，提高了計算的準(zhǔn)確度． 　(2019·黃山模擬

12、)由于往屆高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式大都是“刷題－講題－再刷題”的模式效果不理想，某市一中的數(shù)學(xué)課堂教改采用了“記題型－刷題－檢測效果”的模式，并記錄了某學(xué)生的記題型時間t(單位：h)與檢測效果y的數(shù)據(jù)如表所示： 記題型時 間t/h 1 2 3 4 5 6 7 檢測效果 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)據(jù)統(tǒng)計表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r加以說明(若|r|≥0.75，則認(rèn)為y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)為沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測該學(xué)生記題型8 h的檢測效果；

13、 (3)在該學(xué)生檢測效果不低于3.6的數(shù)據(jù)中任取2個，求檢測效果均高于4.4的概率． [解](1)由題得＝＝4， (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， (yi－)2＝7.08， (ti－)(yi－)＝14， ∴r＝＝≈0.99＞0.75. ∴y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． (2)由(1)可得＝＝＝0.5， ∴＝－ ＝4.3－0.5×4＝2.3. ∴y關(guān)于x的線性回歸方程＝0.5t＋2.3， 當(dāng)t＝8時，＝0.5×8＋2.3＝6.3. ∴預(yù)測該學(xué)生記題型8 h的檢測效果約為6.3. (3)由題意，該學(xué)生檢測效果不低于3.6的數(shù)據(jù)有5個，任取2個數(shù)據(jù)有：

14、 (3.6,4.4)，(3.6,4.8)，(3.6,5.2)，(3.6,5.9)，(4.4,4.8)，(4.4,5.2)，(4.4,5.9)，(4.8,5.2)，(4.8,5.9)，(5.2,5.9)共10種情況， 其中檢測效果均高于4.4的有：(4.8,5.2)，(4.8,5.9)，(5.2,5.9)共3種結(jié)果．故所求概率P＝. 　在計算r或時，要充分利用題目中給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合所給公式，分析哪些數(shù)據(jù)已知，哪些未知． 　某同學(xué)在生物研究性學(xué)習(xí)中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，于是他在4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆

15、種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 溫差x/℃ 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)y/顆 23 25 30 26 16 (1)從這5天中任選2天，求這2天發(fā)芽的種子數(shù)均不小于25的概率； (2)從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)這5天中的另外三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠？ 附：回歸直線的斜率和

16、截距的最小二乘估計公式分別為 [解](1)由題意，設(shè)這兩天發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，m，n的所有取值有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共有10個， 設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3個， 所以P(A)＝， 故從這5天中任選2天，發(fā)芽的種子數(shù)均不小于25的概率為. (2)由數(shù)據(jù)得＝12，＝27， ∴3 ＝972,32＝432. 又xiyi＝977，x＝434， ∴＝＝，

17、＝27－×12＝－3， ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝x－3. (3)當(dāng)x＝10時，＝×10－3＝22，|22－23|＜2， 當(dāng)x＝8時，＝×8－3＝17，|17－16|＜2. 故所得到的線性回歸方程是可靠的． ⊙考點(diǎn)3　概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題 　解決概率與統(tǒng)計案例綜合問題的四步驟 　(2019·大同模擬)“微信運(yùn)動”是一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號，現(xiàn)從“微信運(yùn)動”的60個好友(男、女各30人)中，記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如表： 0～ 2 000步 2 001～ 5 000步 5 001～ 8 000步 8 001～ 10 000步 ＞

18、10 000步 男(人數(shù)) 2 4 6 10 8 女(人數(shù)) 1 7 10 9 3 P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：χ2＝. (1)若某人一天的走路步數(shù)超過8 000步被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則評定為“懈怠型”．根據(jù)題意完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有90%的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有關(guān)？ 積極型 懈怠型 總計 男(人數(shù)) 女(人數(shù)) 總計 (2)現(xiàn)從被系統(tǒng)評定

19、為“積極型”好友中，按男女性別分層抽樣，共抽出5人，再從這5人中，任意抽出3人發(fā)一等獎，求發(fā)到一等獎的3人中恰有一名女性的概率． [解](1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下： 積極型 懈怠型 總計 男(人數(shù)) 18 12 30 女(人數(shù)) 12 18 30 總計 30 30 60 計算χ2＝＝2.4＜2.706， 所以沒有90%的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有關(guān)． (2)按男女性別分層抽樣，抽出5人中3男2女，分別設(shè)為a，b，c，D，E， 從這5人中任意抽出3人，所有結(jié)果為abc，abD，abE，acD，acE，aDE，bcD，bcE，bDE，cDE共10

20、種， 其中恰有1名女性的基本事件有abD，abE，acD，acE，bcD，bcE共6種， 故所求的概率為P＝＝. 　解答本例第(1)問的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表． [教師備選例題] 某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)的影響”，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 使用智能 手機(jī)人數(shù) 不使用智 能手機(jī)人數(shù) 總計 學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀人數(shù) 4 8 12 學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀人數(shù) 16 2 18 總計 20 10 30 參考數(shù)據(jù)： P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072

21、2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，指出有多大把握認(rèn)為中學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響？ (2)研究小組將該樣本中使用智能手機(jī)且成績優(yōu)秀的4位同學(xué)記為A組，不使用智能手機(jī)且成績優(yōu)秀的8位同學(xué)記為B組，計劃從A組推選的2人和B組推選的3人中，隨機(jī)挑選2人在學(xué)校升旗儀式上作“國旗下講話”分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．求挑選的2人恰好分別來自A，B兩組的概率． [解](1)由題易求得K2＝10， 因?yàn)?.879<χ2<10.828， 所以有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生使用智能手

22、機(jī)對學(xué)習(xí)有影響． (2)記A組推選的2名同學(xué)為a1，a2，B組推選的3名同學(xué)為b1，b2，b3， 則從中隨機(jī)選出2名同學(xué)包含如下10個基本事件： (a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2), (b1, b3), (b2, b3)． 記挑選的2人恰好分別來自A，B兩組為事件Z，則事件Z包含如下6個基本事件： (a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)． 故P(Z)＝＝， 即挑選的2人恰好分別來自A，B兩組的概率是. 　(2019·洛陽模擬)某

23、學(xué)校為調(diào)查高三年級學(xué)生的身高情況，按隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖(圖1)和女生身高情況的頻率分布直方圖(圖2)．已知圖1中身高在170～175 cm的男生人數(shù)有16人． 圖1　　　　　　　　　　圖2 (1)試問在抽取的學(xué)生中，男、女生各有多少人？ (2)根據(jù)頻率分布直方圖，完成下列的2×2列聯(lián)表，并判斷能有多大(百分之幾)的把握認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”？ ≥170 cm ＜170 cm 總計 男生身高 女生身高 總計 (3)在上述100名學(xué)生中，從身高在175～185 cm之間的男生和身高在170

24、～175 cm之間的女生中間按男、女性別分層抽樣的方法，抽出6人，從這6人中選派2人當(dāng)旗手，求2人中恰好有一名女生的概率． 參考公式：χ2＝ 參考數(shù)據(jù)： P(χ2≥k) 0.025 0.010 0.005 0.001 k 5.024 6.635 7.879 10.828 [解](1)直方圖中，因?yàn)樯砀咴?70～175 cm的男生的頻率為0.4， 設(shè)男生數(shù)為n1，則0.4＝，得n1＝40. 由男生的人數(shù)為40，得女生的人數(shù)為100－40＝60. (2)男生身高≥170 cm的人數(shù)＝(0.08＋0.04＋0.02＋0.01)×5×40＝30，女生身高≥170 cm的

25、人數(shù)＝0.02×5×60＝6，所以可得到下列列聯(lián)表： ≥170 cm ＜170 cm 總計 男生身高 30 10 40 女生身高 6 54 60 總計 36 64 100 χ2＝≈44.010＞10.828， 所以能有99.9%的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān)． (3)在175～185 cm之間的男生有12人，在170～175 cm之間的女生人數(shù)有6人． 按分層抽樣的方法抽出6人，則男生占4人，女生占2人． 設(shè)男生為A1，A2，A3，A4，女生為B1，B2. 從6人中任選2名有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)

26、，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15種可能． 2人中恰好有一名女生：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8種可能，故所求概率為P＝. 課外素養(yǎng)提升⑩　數(shù)據(jù)分析——統(tǒng)計圖表中的信息提取及數(shù)據(jù)處理 (對應(yīng)學(xué)生用書第200頁) 概率統(tǒng)計綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個復(fù)雜過程．如果這幾個過程書寫步驟缺失則會

27、造成丟分；如果數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會陷入龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算中，因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計思想對數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理、運(yùn)算，并按照一定的書寫步驟準(zhǔn)確無誤書寫出來，做到步驟不缺失、表述準(zhǔn)確無誤，下面就如何從概率統(tǒng)計綜合問題中迅速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建提供典例展示． 統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算 【例1】　(2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買1臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，

28、為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購機(jī)的同時購買的易損零件數(shù)． (1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式； (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值； (3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？ [解](1)當(dāng)x≤19時，y＝

29、3 800； 當(dāng)x>19時，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y與x的函數(shù)解析式為 y＝(x∈N)． (2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19. (3)若每臺機(jī)器在購機(jī)同時都購買19個易損零件，則這100臺機(jī)器中有70臺在購買易損零件上的費(fèi)用為3 800，20臺的費(fèi)用為4 300,10臺的費(fèi)用為4 800，因此這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000. 若每臺機(jī)器在購機(jī)同時都購買20個易損零件，則這100臺機(jī)器中有

30、90臺在購買易損零件上的費(fèi)用為4 000，10臺的費(fèi)用為4 500，因此這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買19個易損零件． [評析](1)根據(jù)題意寫出分段函數(shù)的解析式． (2)根據(jù)柱狀圖結(jié)合頻率的概念，求n的最小值． (3)分別計算兩種情況下的平均數(shù)，并比較大小，作出決策． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】 1．2019年的“國慶節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段

31、高速公路的車速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)后得到如圖的頻率分布直方圖． (1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；(2)若從車速在[60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在[65,70)的車輛恰有一輛的概率． [解](1)眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計值等于77.5. 設(shè)中位數(shù)的估計值為x，則0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位數(shù)的估計值為77.5 (2)從圖中可知，車速在[60,65)的車輛數(shù)為：m1＝0.0

32、1×5×40＝2，車速在[65,70)的車輛數(shù)為：m2＝0.02×5×40＝4. 將車速在[60,65)的車輛設(shè)為a，b，車速在[65,70)的車輛設(shè)為c，d，e，f，則所有的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15種，其中車速在[65,70)的車輛恰有一輛的事件有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8種． 所以，車速在[65,70)的車輛恰有一輛的概率為P＝. 統(tǒng)

33、計數(shù)表中的信息提取與數(shù)據(jù)處理 【例2】　(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.9

34、5 經(jīng)計算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，≈18.439， (xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)． (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． (i)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查

35、？ (ⅱ)在(－3s，＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01) 附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝，≈0.09. [解](1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù) r＝≈≈－0.18. 由于|r|<0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。? (2)(i)由于＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． (ⅱ)剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)

36、據(jù)的平均數(shù)為 (16×9.97－9.22)＝10.02， 這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02. x≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為 (1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為≈0.09. [評析](1)利用相關(guān)系數(shù)r的公式求出r進(jìn)行判斷． (2)認(rèn)真分析題目給出的信息，對照已知數(shù)據(jù)，找出異常值，剔除異常值，求出零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)值． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】 2．某項(xiàng)科研活動共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表： 特征量

37、第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 (1)從5次特征量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取兩個數(shù)據(jù)，求至少有一個大于600的概率； (2)求特征量y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋；并預(yù)測當(dāng)特征量x為570時，特征量y的值． [解](1)記“從5次特征量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取兩個數(shù)據(jù)，至少有一個大于600”為事件A. 從5次特征量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取兩個數(shù)據(jù)有{601,605}，{601,597}，{601,599}，{601,598}，{605,597}，{605,599}，{605,598}，{597,599}，{597,598}，{599,598}，共10種情況．其中至少有一個數(shù)據(jù)大于600的有{601,605}，{601,597}，{601,599}，{601,598}，{605,597}，{605,599}，{605,598}，共7種情況． ∴P(A)＝. (2)∵＝＝556， ＝＝600. ∴＝ ＝＝0.3. ＝－ ＝600－0.3×556＝433.2， ∴線性回歸方程為＝0.3x＋433.2. 當(dāng)x＝570時，＝0.3×570＋433.2＝604.2. ∴當(dāng)x＝570時，特征量y的估計值為604.2 - 15 -