2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第66課 拋物線及其標(biāo)性質(zhì)（2）文（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第66課 拋物線及其標(biāo)性質(zhì)（2）文（含解析） 1.拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為 焦點(diǎn)在軸上時(shí)：其中焦點(diǎn)其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為 焦半徑 焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 【解析】法1.拋物線為，，即，焦點(diǎn)為 直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，由，得，，； 直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，則 由消去，得 直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)且，即 設(shè)、，則 而 ，，即，解得 所以直線的方程為或 法2. 拋物線為，，即，焦點(diǎn)為 直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，由，得，，； 直線的

2、斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，則 由消去，得 直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)且，即 設(shè)、，則， ，， 即，，解得 所以直線的方程為或 【變式】直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積 法1.由消去，得 設(shè)、，則 拋物線為，，即，焦點(diǎn)為 直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn) 而 而原點(diǎn)到直線的距離為 的面積為 法2. 由消去，得，設(shè)、， 則 ， 而 ， 原點(diǎn)到直線的距離為 的面積為 2.直線與拋物線的位置關(guān)系 【例2】已知拋物線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn),斜率為，當(dāng)為何值時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)？ 解：顯然，； 由題意，得直線的方程為，即 由，消去得 直線

3、與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)， 且， 從而當(dāng)且時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) 【變式】1.已知拋物線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn),斜率為，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)當(dāng)?shù)闹禐? 解：由題意，得直線的方程為，即 由，消去得 當(dāng)時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí) 直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)， 解得或 從而實(shí)當(dāng)?shù)闹禐? 2.已知拋物線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn),斜率為，若直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)當(dāng)?shù)娜≈捣秶? 解：顯然，； 由題意，得直線的方程為，即 由，消去得 直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)， 或， 從而實(shí)當(dāng)?shù)娜≈捣秶?/p>

4、是 【例3】（由xx高考題改編）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線:的距離為．過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，其中為切點(diǎn)． （1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程；（3）求的值． 【解析】（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為， 由，且，解得．∴拋物線的方程為． （2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得 設(shè)，(其中)，則切線的斜率分別為，， ∴切線的方程為，即，即 同理可得切線的方程為 ∵切線均過(guò)點(diǎn)，∴， ∴為方程的兩組解．∴直線的方程為． （3）聯(lián)立方程，消去整理得 ∴，，由拋物線定義可知，， ∴ 法2.（2）設(shè)作拋物線的切線為 聯(lián)立方程，消去整理得※ 令，得 代入※得切

5、點(diǎn) 、，而 所以直線的方程為 ，即 （3）由（2） 、， 所以 第66課 拋物線及其標(biāo)性質(zhì)課后作業(yè)（2） 1. 如果拋物線的準(zhǔn)線是直線，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ） A． B． C． D． 【解析】拋物線的準(zhǔn)線是，由已知，得 ，所以 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，選A 2. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，，在拋物線上，且、、成等差數(shù)列， 則有 （　　） A． B． C． D. 【解析】由已知，得，，，、、成等差數(shù)列， ，即 所以，選C 3. (xx·遼寧高考)已知是拋物線 的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的兩點(diǎn)， ，則線段的中

6、點(diǎn)到軸的距離為 (　　) A. B． C. D. 【解析】根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段中點(diǎn)到軸的距離為，選A 4. 在上有一點(diǎn)，它到的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是 (　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 【解析】如圖所示，直線為拋物線的準(zhǔn)線，為其焦點(diǎn)，，，由拋物線的定義知， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同即為1，則可排除A、C、D.答案：B 5. 若直線定點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的方程為（ ）

7、 A. B. 或 C. 或或 D. 或 【解析】(1)當(dāng)直線的斜率不存時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為 由，得，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) (2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為 由消去，得 ※※ 若，則，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 若，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，解得 此時(shí)直線方程為 故所求直線方程為或或 6. 若直線與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 7.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 ，兩點(diǎn)，若，那么 等于________

8、 【解析】因線段過(guò)焦點(diǎn)，則 .又由拋物線的定義知 ， ，故 . 8. 拋物線的傾斜角為的弦的長(zhǎng)度為，求弦所在的直線的方程 解：由已知得，直線的方程為，由，得 設(shè)，，則， ，，即，解得 所以弦所在的直線的方程為 9.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于 ，兩點(diǎn)，且 . (1)求該拋物線的方程； (2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值． 【解析】(1)直線的方程是 ，與聯(lián)立， 從而有 ※，所以： 由拋物線定義得： ， 所以，從而拋物線方程是 . (2)由，※可簡(jiǎn)化為 ， 從而 ， ， ， ，從而 ， ； 設(shè) ． 又 ，即 ． 即 .解得 ，或 . 10. 已知點(diǎn)， ，拋物線， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn).若向量與的夾角為，求的面積． 【解析】設(shè)點(diǎn) ，， ∵ 三點(diǎn)共線，∴ ， 即，即，∴ . ∴ .∵向量 與 的夾角為， ∴，∴ ∴