2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí) 第六章 第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí) 第六章 第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 文 近三年廣東高考中對(duì)本章考點(diǎn)考查的情況 年份 題號(hào) 賦分 所考查的知識(shí)點(diǎn) xx 4 5 求函數(shù)定義域 5 5 求一元二次不等式的解集 18 14 證明四點(diǎn)共面，證明線面垂直 6 5 線性規(guī)劃的最大值問(wèn)題 20(2) 8 以數(shù)列為背景的不等式證明 (續(xù)上表) xx 5 5 線性規(guī)劃的最小值問(wèn)題 11 5 求函數(shù)定義域 18(1) 6 線面垂直的證明 21(1) 6 一元二次不等式的解集 xx 2 5 求函數(shù)的定義域

2、13 5 線性規(guī)劃、目標(biāo)函數(shù)的最大值 19(3) 6 以數(shù)列為背景的不等式證明 20(3) 6 求二次函數(shù)的最值 21(3) 6 三次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值 本章內(nèi)容主要包括兩個(gè)內(nèi)容：不等式、推理與證明． 不等式主要包括：不等式的基本性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題、不等式簡(jiǎn)單應(yīng)用． 推理與證明主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明，其中合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，選擇題、填空題、解答題都可能涉及，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面

3、，在新的高考中都會(huì)涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較?。? 廣東高考在這一章的命題上呈現(xiàn)以下特點(diǎn)： 1．考查題型以選擇題、填空題為主，偶以解答題形式出現(xiàn)，但多數(shù)是解答題中的一部分，如與數(shù)列、函數(shù)、解析幾何等結(jié)合考查，分值約占10%左右，既有中、低檔題，也會(huì)有高檔題出現(xiàn)． 2．重點(diǎn)考查不等式解法、不等式應(yīng)用、線性規(guī)劃以及不等式與其他知識(shí)的結(jié)合，另在推理與證明中將會(huì)重點(diǎn)考查． 3．對(duì)合情推理與演繹推理及證明方法的考查，主要放在解答題中，注重知識(shí)交匯處的命題． 預(yù)計(jì)高考中對(duì)本章內(nèi)容的考查仍將以不等式的解法、基本不等式應(yīng)用、線性規(guī)劃為重點(diǎn)，將推理與證明和其他知識(shí)相融合，更加注重應(yīng)用與能力的考查．

4、 本章內(nèi)容理論性強(qiáng)，知識(shí)覆蓋面廣，因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意： 1．復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，要克服“想當(dāng)然”和“顯然成立”的思維定勢(shì)，要以比較準(zhǔn)則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則為依據(jù)． 2．不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法，這些方法可作適當(dāng)了解，但要控制量和度． 3．解(證)某些不等式時(shí)，要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來(lái)． 4.注意重要不等式和常用思想方法在解題、證題中的作用． 在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí)，加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí)．解不等式的過(guò)程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式(組)，以快速、準(zhǔn)確求解． 加強(qiáng)分類(lèi)討論思

5、想的復(fù)習(xí)．在解不等式或證不等式的過(guò)程中，如含參數(shù)等問(wèn)題，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)分析引起分類(lèi)討論的原因，合理地分類(lèi)，做到不重不漏． 加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練．不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化．如求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，函數(shù)與方程思想是解決這類(lèi)問(wèn)題的重要方法． 在不等式的證明中，加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí)，證不等式的過(guò)程是一個(gè)已知條件向要證結(jié)論轉(zhuǎn)化的過(guò)程，既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，又可考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，正因?yàn)樽C不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起我們的足夠重視． 5．強(qiáng)化不等式的應(yīng)用． 高考中除單獨(dú)考查不等式的試

6、題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的試題中涉及不等式的知識(shí)，加強(qiáng)不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力的關(guān)鍵．因此，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識(shí)，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高解決問(wèn)題的能力． 如在實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法，求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，避免不必要的錯(cuò)誤． 6．利用平均值定理解決問(wèn)題時(shí)，要注意滿足定理成立的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”． 7．要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)要注意到不等式與函數(shù)、方程的區(qū)別與聯(lián)系． 對(duì)于類(lèi)比型問(wèn)題可以說(shuō)是創(chuàng)新要求的體現(xiàn)，最常見(jiàn)的是二維問(wèn)題與三維問(wèn)題的類(lèi)比，同結(jié)構(gòu)問(wèn)題的

7、類(lèi)比(比如圓錐曲線內(nèi)的類(lèi)比問(wèn)題、數(shù)列內(nèi)的類(lèi)比問(wèn)題等)，較少對(duì)照不同結(jié)構(gòu)的類(lèi)比問(wèn)題．關(guān)于歸納、猜想、證明是考得比較多、比較成熟的題型了，在復(fù)習(xí)備考中要把握考試的特點(diǎn)，注重落實(shí)． 歸納、演繹和類(lèi)比推理在數(shù)學(xué)思維中所占的分量非常重，事實(shí)上，在高考中歸納、猜想、證明以及類(lèi)比、證明這一類(lèi)題目是常考常新的． 推理與證明問(wèn)題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，需要采用多種數(shù)學(xué)方法才能解決問(wèn)題，如：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類(lèi)討論思想等，對(duì)學(xué)生的知識(shí)與能力要求較高，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和邏輯推理能力、表述能力的全面考查，可以彌補(bǔ)選擇題與填空題等客觀題的不足，是提高區(qū)分度、增強(qiáng)選拔功能的

8、重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問(wèn)題正在成為一個(gè)熱點(diǎn)題型，并且經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)． 第一節(jié)　不等關(guān)系與不等式 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景. 知識(shí)梳理 一、不等式的概念 在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”連接兩個(gè)數(shù)式或代數(shù)式以表示它們之間的不等的關(guān)系的式子，叫做不等式． 二、實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序關(guān)系 1．a(chǎn)>b?a－b>0.2.a＝b?a－b＝0.3.a

9、的基本性質(zhì) 　雙向性： 1．定理1(對(duì)稱(chēng)性)：a>b?bb，b>c?a>c. 3．定理3(同加性)：a>b，c為整式或?qū)崝?shù)?a＋c>b＋c. 4．定理3推論(疊加性)：?a＋c>b＋d. 5．定理4(可乘性)：?ac>bc；?acbd. 7．定理4推論2(可乘方性)：a>b>0?an>bn(n∈N*且n>1)． 8．定理5(可開(kāi)方性)：a>b>0?＞(n∈N*且n>1)． 四、不等式性質(zhì)成立的條件 例如，重要結(jié)論：a＞b，ab＞0?＜，不能弱化條件得a＞b?＜. 五、正確處理帶等

10、號(hào)的情況 如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且b＝c時(shí)，才會(huì)有a＝c. 注意：不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類(lèi)：一類(lèi)是“?”型；另一類(lèi)是“?”型．要注意二者的區(qū)別． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．已知a＜0，b＜－1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＞＞　 B.＞＞a C.＞＞a D.＞a＞ 解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，驗(yàn)證知＞＞a成立．也可用作差比較法． 答案：C 2．(xx·廣東兩校聯(lián)考)若0

11、log2a＋log2b＋1 D．log2(a3＋a2b＋ab2＋b3) 解析：特殊值法．取a＝，b＝，則log2b＝log2＝1－log23>1－log24＝－1； log2b－(log2a＋log2b＋1)＝－1－log2＝－1＋log23>0； 計(jì)算可知，b>a3＋a2b＋ab2＋b3， ∴l(xiāng)og2b>log2(a3＋a2b＋ab2＋b3)．故選B. 答案：B 3．已知a，b∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是________． ①＞1?、赼2＞b2　③lg(a－b)＞0?、躠＜b 解析：令a＝2，b＝－1，則a＞b，＝－2，故＞1不成立；令a＝1，b＝－

12、2，則a2＝1，b2＝4，故a2＞b2不成立；當(dāng)a－b在區(qū)間(0,1)內(nèi)時(shí)，lg(a－b)＜0；f(x)＝x在R上是減函數(shù)，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)，即a＜b.故④正確． 答案：④ 4．a(chǎn)>b>0，m>0，n>0，則，，，由大到小的順序是____________． 解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，則＝，＝2，＝，＝.∴>>>. 答案：>>> 1．(xx·北京卷)設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則(　　) A．a(chǎn)c>bc B.< C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3 解析：當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3成立．A項(xiàng)中對(duì)c＝0不成立

13、．B項(xiàng)取a＝1，b＝－1，則<不成立；C項(xiàng)取a＝1，b＝－2，則a2>b2不成立． 答案：D 2．(xx·大綱全國(guó)卷)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，則(　　) A．xln e＝1，y=log52＝，＜1.綜上可得，y＜z＜x.故選D. 答案：D 1．(xx·江門(mén)一模)若x＞0，y＞0，則x＋y＞1是x2＋y2＞1的(　　) A．充分不必要條件　　　　　B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條

14、件 解析：先看充分性， 可取x＝y(tǒng)＝，使x＋y＞1成立，而x2＋y2＞1不能成立，故充分性不能成立； 若x2＋y2＞1，因?yàn)閤＞0，y＞0， 所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＞x2＋y2＞1， ∴x＋y＞1成立，故必要性成立． 綜上所述，x＋y＞1是x2＋y2＞1的必要不充分條件． 答案：B 2．(xx·北京西城區(qū)期末)已知a>b>0，給出下列四個(gè)不等式： ①a2>b2　②2a>2b－1?、?－ ④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為_(kāi)_______． 解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立； ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，③成立； 若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立． 答案：①②③