九年級數(shù)學(xué) 第4講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題教案

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1、九年級數(shù)學(xué) 第4講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題教案 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題 知識點 二次函數(shù)綜合；平行四邊形的性質(zhì)及判定； 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點 巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點 靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題； 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) ③平行四邊形兩組對角分別相等； ④平行四邊形的對角線互相平分； 3. 判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； ②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

2、③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； ④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； ⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 知識講解 考點1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)．當(dāng)b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的

3、坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標(biāo)為（－，）．對于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點． 考點2 探究平行四邊形的一般思路 在探究平行四邊形的存在性問題時，具體方法如下： （1）假設(shè)結(jié)論成立； （2）探究平行四邊形存在問題一般是已知平行四邊形的3個頂點，再去求另外一個頂點，具體方法有兩

4、種： 第一種是：①從給定的3個頂點中任選2個定點確定的線段作為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€分別作出平行四邊形；②根據(jù)題干要求找出符合條件的平行四邊形； 第二種是：①以給定的3個定點兩兩組合成3條線段，分別以這3條線段為對角線作出平行四邊形；②根據(jù)題干要求找出符合條件的平行四邊形； （3）建立關(guān)系式，并計算；根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點坐標(biāo)的方法求解。例題精析 例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A

5、(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三點． （1）求拋物線的解析式； （2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，△MAB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； （3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)． 例2如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D． （1）直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸； （2）連結(jié)BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，

6、過點P作PF//DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m． ①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？ ②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系． 例3如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2． （1）求A、B 兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式； （2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值； A （3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的

7、F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 例4如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（-3,0），點B（1,0），交y軸于點E（0，-3），點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行，直線y=-x+m過點C，交y軸于點D. （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值； A x B C D H E F G K O x y l A B C D H E F G K O y l 備用圖 圖① （3）在直線l

8、上取點M，在拋物線上取點N，使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo). 課程小結(jié) 有針對性的對平行四邊形的性質(zhì)及判定與二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題時，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出平行四邊形，并能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。 例1【規(guī)范解答】(1) 因為拋物線與x軸交于A(－4,0)、C(2,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋4)(x－2)．代入點B(0,－4

9、)，求得． 所以拋物線的解析式為． (2)如圖2， 直線AB的解析式為y＝－x－4．過點M作x軸的垂線交AB于D，那么． 所以．因此當(dāng)時，S取得最大值，最大值為4． (3) 如果以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論： 當(dāng)OB為一邊時，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．設(shè)點Q的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為． ①當(dāng)點P在點Q上方時，．解得． 此時點Q的坐標(biāo)為（如圖3），或（如圖4）． ②當(dāng)點Q在點P上方時，． 解得或（與點O重合，舍去）．此時點Q的坐標(biāo)為(－4,4) （如圖5）． 圖3

10、 圖4 圖5 當(dāng)OB為對角線時，PQ、OB互相平分，PB//OQ（如圖6），此時點Q的坐標(biāo)為(4,－4) 圖6 【總結(jié)與反思】 1．求拋物線的解析式，設(shè)交點式比較簡便． 2．把△MAB分割為共底MD的兩個三角形，高的和為定值OA． 3．當(dāng)PQ與OB平行且相等時，以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，按照P、Q的上下位置關(guān)系，分兩種情況列方程． 例2【規(guī)范解答】（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對稱軸是x＝1． （2）①直線BC的解析式為y＝－x＋3． 把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點E

11、的坐標(biāo)為（1，2）． 把x＝1代入，得y＝4．所以點D的坐標(biāo)為（1，4）．因此DE=2． 因為PF//DE，點P的橫坐標(biāo)為m，設(shè)點P的坐標(biāo)為，點F的坐標(biāo)為， 因此． 當(dāng)四邊形PEDF是平行四邊形時，DE=FP．于是得到．解得，（與點E重合，舍去）． 因此，當(dāng)m=2時，四邊形PEDF是平行四邊形時． ②設(shè)直線PF與x軸交于點M，那么OM+BM=OB=3．因此 ．m的變化范圍是0≤m≤3． 圖2 圖3 【總結(jié)與反思】 1．?dāng)?shù)形結(jié)合，用函數(shù)的解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長．

12、 2．當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時，根據(jù)DE=FP列關(guān)于m的方程． 3．把△BCF分割為兩個共底FP的三角形，高的和等于OB． 例3【規(guī)范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），將C點的橫坐標(biāo)x=2， 代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線AC的函數(shù)解析式是：y=﹣x﹣1； （2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）， ∵P點在E點的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，P

13、E的最大值=； （3）存在4個這樣的點F，分別是：F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4﹣，0）． ①如圖1， 連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標(biāo)是（﹣3，0）； ②如圖2， AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；因此F點的坐標(biāo)為（1，0）； ③如圖3， 此時C，G兩點的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中，即可得出G點的坐標(biāo)為（1±，3）， 由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為：y=﹣x+h，將G點代入后， 可得出直線的解析式為：y=

14、﹣x+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為：（4+，0）； ④如圖4， 同③可求出F的坐標(biāo)為：（4﹣，0）；綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點． 【總結(jié)與反思】 1. 拋物線與x軸的交點即為A和B，再將A和C帶入求解直線方程。 2. 將點P和點E坐標(biāo)設(shè)出后，求解最大值。 3. 將已知AC邊作為邊或者對角線分類討論求出點坐標(biāo)。 例4【規(guī)范解答】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)(x+3). ∵拋物線交y軸于點E（0，-3），將該點坐標(biāo)代入得a=1,∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. (2) ∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點A

15、的坐標(biāo)為（-3,0），點B的坐標(biāo)（1,0），∴點C的坐標(biāo)（5,0）. 將點C的坐標(biāo)代入y=-x+m,得m=5，∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5. 設(shè)K點的坐標(biāo)為（t,0）,則H點坐標(biāo)為(t,-t+5),點G的坐標(biāo)為（t,t2+2t-3）. ∵點K為線段AB上一動點，∴-3≤t≤1.∴HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+. ∵-3≤t≤1. ∴當(dāng)t=-時，線段HG的長度有最大值. （3）∵點F是線段BC的中點.點B（1,）），點C（5,0），∴點F的坐標(biāo)為（3,0），∵直線l過點F且與y軸平行， ∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3,∵點M在直線l上

16、，點N在拋物線上，∴設(shè)點M的坐標(biāo)為（3，m）,點N的坐標(biāo)為（n,n2+2n-3）. ∵點A（-3,0），點C（5,0）. ∴AC=8. 分情況討論： ①若線段AC是以點A,C,M,N為頂點的平行四邊形的邊，則須MN∥AC,且MN=AC=8，當(dāng)點N在點M的左側(cè)時，MN=3-n，∴3-n=8，解得n=-5，∴點N的坐標(biāo)為（-5，,1）；當(dāng)點N在點M的右側(cè)時，MN= n-3， ∴n-3=8，解得n=11，∴點N的坐標(biāo)為（11，140）. ②若線段AC是以點A,C,M,N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C是點A關(guān)于點B的對稱點”知：點M與點N關(guān)于點B中心對稱，取點F關(guān)于B的對稱點P，則P的

17、坐標(biāo)為（-1,0），過P作NP⊥x軸，交拋物線于點N， 將x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，過點N，B作直線NB交直線l于點M， 在△BPN與△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM, ∴NB=MB. ∴四邊形ANCM為平行四邊形， ∴坐標(biāo)為（-1，-4）的點N符合條件. ∴當(dāng)N點的坐標(biāo)為（-5,12），（11,140），（-1，-4）時， 以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形. 【總結(jié)與反思】 1. 用交點式表示出二次函數(shù)的表達(dá)式，再將拋物線與y軸的交點坐標(biāo)代入求得a的值，得出二次函數(shù)的表達(dá)式； 2. H、G的橫坐標(biāo)相同，用一字母t表示出H、G兩點的坐標(biāo)，其長度就是兩點縱坐標(biāo)之差，這樣得到長度關(guān)于t的二次三項式，結(jié)合t的取值范圍，求的HG的最大值； 3．要分AC是對角線和邊兩種情況來討論，AC為邊時，點M、N的左右位置不一樣，結(jié)果又不一樣，考慮要周到，運(yùn)算一定要仔細(xì)．