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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 確定函數(shù)零點所在的區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)＝x＋log2x，問方程f(x)＝0在區(qū)間[，4]上有沒有實根，為什么？
【解析】因為f ()＝＋log2＝－2＝－＜0，
f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f()f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在區(qū)間[，4]是連續(xù)的，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[，4]上有零點，即存在c∈[，4]，使f(c)＝0，
所以方程f(x)＝0在區(qū)間[，4]上有實根.
【點撥】判斷函數(shù)f(x)的零點是否在區(qū)間(a，b)內(nèi)，只需檢驗兩條：①函數(shù)f(x)
2、在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)不斷的；②f(a)f(b)＜0.
【變式訓(xùn)練1】若x0是函數(shù)f(x)＝x＋2x－8的一個零點，則[x0](表示不超過x0的最大整數(shù))＝ .
【解析】因為函數(shù)f(x)＝x＋2x－8在區(qū)間(－∞，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2)f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點x0，所以[x0]＝2.
題型二 判斷函數(shù)零點的個數(shù)
【例2】判斷下列函數(shù)的零點個數(shù).
(1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)；
(2)f(x)＝x－4＋log2x.
【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(
3、m－2)＞0有兩個不同的零點.
(2)因為函數(shù)f(x)＝x－4＋log2x在區(qū)間(0，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2)f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上存在唯一的零點.
【點撥】判斷函數(shù)的零點個數(shù)有以下兩種方法：
(1)方程f(x)＝0的根的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)與x軸的交點個數(shù)，即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；
特殊情況下，還可以將方程f(x)＝0化為方程g(x)＝h(x)，然后再看函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的交點個數(shù).
【變式訓(xùn)練2】問a為何值時，函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個零點，二個零點，一個零點？
【解析】
4、f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此時f(x)有極大值f(－1)＝2＋a，極小值f(1)＝－2＋a.由圖象(圖略)得知：
當(dāng)－2＜a＜2時，函數(shù)f(x)有三個零點；
當(dāng)a＝－2或a＝2時，函數(shù)f(x)有兩個零點；
當(dāng)a＜－2或a＞2時，函數(shù)f(x)有一個零點.
題型三 利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)零點問題
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)關(guān)于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個相異的零點，求a的取值范圍.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4.
由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由f′(x)
5、＜0，得－2＜x＜.
故f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－2)、(，＋∞)，
f(x)的遞減區(qū)間為(－2，).
(2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0，
令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a.
所以g′(x)＝3x2＋4x－4.
由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(，＋∞)上遞增，在(－2，)上遞減，故g(x)在[－3，
－2]和[，2)上為增函數(shù)，在[－2，]上為減函數(shù).
關(guān)于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個不同的零點，則
解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.
【點撥】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出極值點，再討論單調(diào)性；
6、(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形，找到滿足題設(shè)的a的條件.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的兩個極值分別為f(x1)和f(x2)，若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi)，則的取值范圍為( )
A.(－1，－) B.(－∞，)∪(1，＋∞)
C.(，1) D.(，2)
【解析】因為f′(x)＝x2＋ax＋2b，由題意可知，
畫出a，b滿足的可行域，如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示，表示可行域內(nèi)的點與點D(1,2)的連線的斜率，記為k，觀察圖形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝＝，kBD＝＝1，所以＜＜1，故選C.
總結(jié)提高
函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標，注意零點不是“點”，并不是所有的函數(shù)都有零點，或者說不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點.二分法是求一般函數(shù)零點的一種通法，但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想得到零點的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一個零點，二是在(a，b)內(nèi)有零點時，未必f(a)f(b)＜0成立，三是二分法計算量較大，常要借助計算器完成.
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