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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題8 選修專(zhuān)題 第三講 不等式選講 理
1．絕對(duì)值三角不等式．
(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋B|≤|a|＋|b|，
當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．
(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，
當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．
2．絕對(duì)值不等式的解法．
(1)不等式|x|a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
{x|x>a或x<－a}
{x|x≠0}
R
①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b
2、≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；
方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；
方法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．
3．柯西不等式的二維形式．
(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2(當(dāng)且僅當(dāng)a1b2＝a2b1時(shí)，等號(hào)成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的
3、兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|.
(3)二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.
4．柯西不等式的一般形式．
柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.
5．基本不等式的一般形式．
≥(a1，a2，…，an∈R＋)．
1．函數(shù)y＝|x－4|＋|x－6|的最小值為(A)
A．2 B. C．4 D．6
解析：y＝|x－1|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.
2．不等式3≤|5－2x|
4、<9的解集為(D)
A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7]
C．(－2，－1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7)
解析：??得(－2，1]∪[4，7)．
3．(xx·皖南八校聯(lián)考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(A)
A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[－2，5] D．(－∞，－2)∪[4，＋∞)
解析：由絕對(duì)值的幾何意義易知|x＋3|＋|x－1|的最小值為4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤
5、a≤4.
4．(xx·延邊州質(zhì)檢)函數(shù)y＝(x≥0)的最小值為(B)
A．6 B．7
C. D．9
解析：原式變形為y＝＝x＋2＋＋1，因?yàn)閤≥0，所以x＋2>0，所以x＋2＋≥6.所以y≥7，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．所以ymin＝7(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí))．
一、選擇題
1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(D)
A．[－5，7] B．[－4，6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析：當(dāng)x≤－3時(shí)，|x－5|＋|x＋3|＝5－x－x－3＝2－2x≥10，
6、即x≤－4，∴x≤－4.當(dāng)－30，所以x＋2＋≥6.所以y≥7，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．所以ymin＝7(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí))．
3．若x，y∈R且滿(mǎn)足x＋
7、3y＝2，則3x＋27y＋1的最小值是(D)
A．3 B．1＋2
C．6 D．7
解析：3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝7.當(dāng)且僅當(dāng)3x＝33y時(shí)，即x＝3y＝1時(shí)取等號(hào)．
4．設(shè)x>0，y>0，A＝，B＝＋，則A，B的大小關(guān)系是(B)
A．A＝B B．AB
解析：B＝＋>＋＝＝A，即A
8、當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)．∵a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝時(shí)，＋＋取最大值.
二、填空題
6．不等式1<|x＋1|<3的解集為(－4，－2)∪(0，2)．
7．不等式|x－8|－|x－4|>2的解集為{x|x<5}．
解析：令f(x)＝|x－8|－|x－4|＝42；當(dāng)42，得x<5，∴48時(shí)，f(x)＝－4>2不成立．故原不等式的解集為{x|x<5}．
8．已知關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x|≤k無(wú)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k<1．
解析：∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴當(dāng)k<
9、1時(shí)，不等式|x－1|＋|x|≤k無(wú)解，故k<1.
三、解答題
9．(xx·柳州一模)已知關(guān)于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．
(1)當(dāng)a＝4時(shí)，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解析：(1)當(dāng)a＝4時(shí)，不等式即|2x＋1|－|x－1|≤2.
當(dāng)x<－時(shí)，不等式為－x－2≤2，解得－4≤x<－.
當(dāng)－≤x≤1時(shí)，不等式為3x≤2，解得－≤x≤.
當(dāng)x>1時(shí)，不等式為x＋2≤2，此時(shí)x不存在．
綜上，不等式的解集為.
(2)設(shè)f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值為－.所以當(dāng)f(x)≤l
10、og2a有解，則有l(wèi)og2a≥－，解得a≥，即a的取值范圍是.
10．(xx·遼寧卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N.
(1)求M；
(2)當(dāng)x∈M∩N時(shí)，求證：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
解析：(1)由f(x)＝2|x－1|＋x－1≤1可得或
解得1≤x≤，解得0≤x<1.
綜上，原不等式的解集為.
(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得－≤x≤，
∴N＝.∴M∩N＝.
∵當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f(x)＝1－x，
∴x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝－≤，
故要證的不等式成立．
11．已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2對(duì)滿(mǎn)足x＋y＋z＝1的一切實(shí)數(shù)x，y，z都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解析：由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]≥(x＋y＋z)2.
∴x2＋2y2＋3z2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)，
即x＝，y＝，z＝取等號(hào)．
則|a－2|≤.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題8 選修專(zhuān)題 第三講 不等式選講 理
