2022年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第二部分 導(dǎo)數(shù) 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第二部分 導(dǎo)數(shù) 新人教版 一、考試要求： 1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景。 2、理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 3、掌握函數(shù)y=xn (n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 4、理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。 5、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求最大值和最小值的方法，解決科技、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)中的某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。 二、知識(shí)與方法 1、導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量（或稱改為量）△x，那么函數(shù)y相應(yīng)的有增量（或稱改變量）△y， △

2、y=f(x0+△x)－f(x0) 比值就叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+△x之間的平均變化率. =. 如果當(dāng)△x→0時(shí)，有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限值叫做函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)（或稱變化率），記作f′(x0)或y′|x=x0或f′(x)|x=x0.即： f′(x0)= 這里須指出：f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)，即：S′(t0)= 2、求函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟 ⑴求函數(shù)的增量△y=f(x0+△x)－f(x0) ⑵求平均變化率：=. ⑶取極限，求函數(shù)在x0點(diǎn)的

3、變化率，即導(dǎo)數(shù)：f′(x0)=. 3、“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”及“導(dǎo)數(shù)”的概念間的區(qū)別與聯(lián)系： ⑴函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)增量△y=f(x0+△x)－f(x0)與自變量的增量△x之比的極限。它是一個(gè)常數(shù)，不是變量。 ⑵如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處均可導(dǎo)，這時(shí)稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，這樣的對(duì)應(yīng)就構(gòu)成了以區(qū)間(a,b)為定義域的一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x而言的。 ⑶y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)

4、數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值, 即f′(x)|=f′(x0)，值得注意的是：f′(x0)≠[f(x0)]′ 4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ⑴函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)f(x)的曲線在該點(diǎn)處必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點(diǎn)x0處有切線，函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)。如f(x)=在x=0有切線，但不可導(dǎo)。 ⑵函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率,即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f′(x0),切線方程為y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)

5、5、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ⑴C′=0 (C為常數(shù)) ⑵(xn)′=nxn－1　(n∈Q) 6、可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，則： (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x) 三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且在該區(qū)間內(nèi)，f′(x)>0，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若在該區(qū)間內(nèi)，f′(x)<0，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 指出：若可導(dǎo)函數(shù)只有某區(qū)間的個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，如y=x3，在(－∞,+∞)內(nèi)，y=3x2≥0(只在x=0處y′=0)不影響y

6、=x3在(－∞,+∞)內(nèi)為單調(diào)增加. 2、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的一般方法和步驟如下： ⑴確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間； ⑵求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)； ⑶令f′(x)>0，所得x的范圍（區(qū)間）為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；令f′(x)<0，得單調(diào)減區(qū)間. 3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 ⑴極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0左右近旁的所有x值，都有 f(x)f(x0) 我們就說(shuō)f(x0)是f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值

7、=f(x0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為f(x)的極值. 指出：一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的極小值不一定小于極大值.(即極小值可以大于或等于極大值)；極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它僅與左右近旁的函數(shù)值進(jìn)行比較；極值點(diǎn)一定是區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，不是充分條件。 ⑵極值的判定方法。 當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí)，判別f(x0)是極大（小）值的方法是： ①如果在x0在左側(cè)近旁f′(x0)>0，右側(cè)近旁f′(x0)<0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0在左側(cè)近旁f′(x0)<0，右側(cè)近旁f′(x0)>0，那么f(x0)是極小值. ⑶求函數(shù)的極值的步驟： ①求函數(shù)的

8、定義域 ②求導(dǎo)數(shù)f′(x) ③求導(dǎo)數(shù)f′(x)=0的根. ④檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符號(hào)，如果左正、右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值. 4、函數(shù)的最大值與最小值 ⑴閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.(開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值). ⑵求閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值和最小值的步驟： ①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值； ②將f(x)的各極值與端點(diǎn)函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值. ⑶如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)或(－∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo)且有惟一的極值點(diǎn)x0，那么當(dāng)f(x0)是極大值時(shí)，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f(x0)是極小值時(shí)，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. ⑷對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0，而且實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道f(x)在(a,b)內(nèi)必定取得最大值或最小值，則f(x0)就是所求的最大值或最小值，這時(shí)也就無(wú)須判斷是極大值還是極小值.