2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.8解三角形應(yīng)用舉例課時作業(yè) 文（含解析）新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.8解三角形應(yīng)用舉例課時作業(yè) 文（含解析）新人教版 一、選擇題 1．(xx·茂名二模)為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點(diǎn)的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) A．50 m　　　　　　　　 B．50 m C．25 m D. m 解析：由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50(m)． 答案：A 2．(xx·寧波模擬)某大學(xué)的大門蔚為壯觀，有個學(xué)生想搞清楚門洞拱頂D到其正上方A點(diǎn)的距離，他站在地面C

2、處，利用皮尺量得BC＝9米，利用測角儀測得仰角∠ACB＝45°，測得仰角∠BCD后通過計(jì)算得到sin∠ACD＝，則AD的距離為(　　) A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 解析：設(shè)AD＝x，則BD＝9－x，CD＝，在△ACD中應(yīng)用正弦定理得＝，即＝， 所以2[92＋(9－x)2]＝26x2，即81＋81－18x＋x2＝13x2，所以2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)． 答案：C 3．(xx·哈爾濱模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角

3、為(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：依題意可得AD＝20 m ，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 答案：B 4．(xx·大連模擬)如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝30 m，并在點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB為(　　) A．10 m B．10 m C．15 m D．10 m 解析：

4、在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理，得＝， 所以BC＝＝30(m)． 在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝30tan30°＝10(m)． 答案：D 5．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米．甲船以每小時4千米的速度向北航行，同時，乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲船在A，B之間，且甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是(　　) A.分鐘 B.小時 C．21.5分鐘 D．2.15分鐘 解析：如圖，設(shè)航行x小時，甲船航行到C處，乙船航行到D處，在△BCD中，BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝

5、120°，兩船相距S千米，根據(jù)余弦定理可得， DC2＝BD2＋BC2－2BC·BDcos∠CBD＝(6x)2＋(10－4x)2－2×6x(10－4x)·cos120°，即S2＝28x2－20x＋100 ＝282＋100－28×2， 所以當(dāng)x＝＝時，S2最小，從而S也最小，即航行×60＝分鐘時兩船相距最近．故選A. 答案：A 6．(xx·廣州調(diào)研)如圖所示，長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tanα等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：由題意，可得

6、在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π. 由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，得3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝. 答案：A 二、填空題 7．(xx·宜昌模擬)甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東__________(填角度)的方向前進(jìn)． 解析：設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°

7、，且＝， 由正弦定理得＝＝?sin∠BAC＝. 又0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°. 答案：30° 8．(xx·湘潭模擬)要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為__________m. 解析：如圖，設(shè)電視塔AB高為x m， 則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝30°， 所以BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°， 即(x)

8、2＝x2＋402－2·x·40·cos120°， 解得x＝40，所以電視塔高為40 m. 答案：40 9．(xx·杭州一中月考)如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile.此船的航速是__________n mile/h. 解析：設(shè)航速為v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，∠BSA＝45°， 由正弦定理，得＝，∴v＝32n mile/h. 答案：32 三、解答題 10．(xx·石家莊模擬)已知島A南偏

9、西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的 一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？ 解析：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC＝0.5x，AC＝5海里，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故緝

10、私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船． 11．(xx·武漢二模)如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50千米/時的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?，汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5千米、距離公路線的垂直距離為3千米的M點(diǎn)的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少千米？ 解析：作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I，則MI＝3千米，∵OM＝5千米，∴OI＝4千米， ∴cos∠MOI＝. 設(shè)騎摩托車的人的速度為v千米/時，追上汽車的時間為t

11、小時． 由余弦定理，得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×， 即v2＝－＋2 500＝252＋900≥900， ∴當(dāng)t＝時，v取得最小值為30， ∴其行駛的距離為vt＝＝千米． 故騎摩托車的人至少以30千米/時的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了千米． 12．(xx·江蘇南京鹽城二模)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計(jì)能使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))? 解析：設(shè)∠

12、AMN＝θ，在△AMN中，＝. 因?yàn)镸N＝2，所以AM＝sin(120°－θ)． 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ) ＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4 ＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋ ＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)． 當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2. 所以當(dāng)∠AMN＝60°時，符合要求．