2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時)大綱人教版必修

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1、2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時)大綱人教版必修 課時安排 4課時 從容說課 本節(jié)通過類比橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的幾何性質(zhì)，讓學(xué)生再一次體會用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法. 學(xué)生通過自學(xué)，可以掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點等性質(zhì)，對于雙曲線的漸近線的證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.教學(xué)中應(yīng)強調(diào)“漸近”兩個字的含義：當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近，接近的程度是無限的，或當(dāng)雙曲線上的動點P沿著雙曲線無限遠離雙曲線的中心時，點P到這條直線的距離逐漸變小而無限接近于0. 本節(jié)例2的設(shè)計，旨在讓學(xué)生利用雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)地解決實

2、際問題，例3則給出了雙曲線的第二定義（比值定義）及雙曲線準(zhǔn)線的方程，為解決問題提供了方便. 對直線與雙曲線的位置關(guān)系的掌握,仍是從直線與雙曲線的公共點展開的,通過直線與雙曲線的方程將其轉(zhuǎn)化為求方程解的個數(shù)問題,教學(xué)中應(yīng)指出:所得的方程不一定是一元二次方程,需要對其二次項系數(shù)進行討論.使學(xué)生認(rèn)識到,脫離了二次方程而去談?wù)摗骱透c系數(shù)的關(guān)系是毫無意義的. ●課 題 §8.4.1 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（一） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 雙曲線的范圍、對稱性（對稱軸、對稱中心）、頂點（截距）、實軸、虛軸的概念及雙曲線的漸近線與離心率. （二）能力訓(xùn)練要求 1.使學(xué)生理解并掌握

3、雙曲線的范圍. 2.使學(xué)生理解并掌握雙曲線的對稱性，明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的雙曲線的對稱軸、對稱中心. 3.使學(xué)生理解雙曲線的漸近線的定義，掌握雙曲線漸近線的方程，并能利用雙曲線的漸近線較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖. 4.使學(xué)生掌握離心率的定義及其幾何意義. （三）德育滲透目標(biāo) 使學(xué)生充分認(rèn)識數(shù)與形的有機聯(lián)系，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一. ●教學(xué)重點 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法. ●教學(xué)難點 雙曲線的漸近線 ●教學(xué)方法 指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法 雙曲線的幾何性質(zhì)討論的內(nèi)容，除漸近線外，與橢圓的幾何性質(zhì)類同，對橢圓的幾何性質(zhì)及其研究方法，學(xué)生已經(jīng)初步掌握，在教師的指導(dǎo)下，自學(xué)雙曲線的幾何

4、性質(zhì)不會有什么問題，同時通過學(xué)生的自學(xué)，學(xué)生的親身實踐與體驗，對于學(xué)生掌握雙曲線的幾何特征及問題的研究方法，能起到加深印象與理解的作用，達到突破難點、鞏固所學(xué)知識的目的. ●教具準(zhǔn)備 投影片一張 本課時教案后面的預(yù)習(xí)內(nèi)容及預(yù)習(xí)提綱（記作§8.4.1 A） 多媒體課件一個： 先作出中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線，其次，隨著內(nèi)容的討論至頂點時，標(biāo)出A1、A2、B1、B2點，第三，討論到實軸、虛軸概念時，讓線段A1A2、B1B2閃動，第四，到漸近線時，按要求作出矩形，作出對角線，并隨著x的增大（縮小）延長漸近線、雙曲線，讓學(xué)生觀察曲線逐步接近直線. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］

5、前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的簡單性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率，請同學(xué)們回憶一下，對于橢圓(a＞b＞0)其幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法. ［生］橢圓的范圍是|x|≤a,|y|≤b（教師板書） ［師］討論方法是什么？ ［生］因兩個非負(fù)數(shù)的和等于1，那么由方程可知，每一個大于1，即小于或等于1，據(jù)此得到橢圓的范圍. ［師］請接著談一下其他性質(zhì). ［生］對稱性：橢圓關(guān)于x 軸、y軸、原點都對稱，原點是橢圓的中心. 頂點：橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點，其頂點坐標(biāo)是（±a,0）,(0,±b) 離心率：e=(e∈(0,1)) （學(xué)生回答，教師板書） ［師］在橢圓頂點的研究中，我們給出

6、了長軸、短軸的概念，明確了長軸長、短軸長，以及a、b、c的幾何意義，誰來補充一下？ ［生］橢圓在同一條對稱軸上的兩個頂點間的線段，較長的是橢圓的長軸，較短的是橢圓的短軸，長軸長是2a,短軸長是2b，a是長半軸的長，b是短半軸的長，c是半焦距. ［師］很好！離心率對橢圓的扁圓情況有怎樣的影響呢？ ［生］0＜e＜1，當(dāng)e越接近1時，c越接近于a,b=越小，橢圓就越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越小，b=越接近于a，橢圓就越接近于圓. ［師］好！橢圓的對稱性、離心率、頂點三種性質(zhì)的討論方法是什么呢？ ［生］討論橢圓的對稱性時，用-y代y，方程不變，則橢圓關(guān)于x軸對稱；用-x代x，方程不變，則橢圓

7、關(guān)于y軸對稱；同時用-y代y，-x代x，方程不變，則橢圓關(guān)于原點對稱. 討論離心率時，由離心率的定義，得到了離心率的范圍. 討論頂點時，由頂點的定義及橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，令x=0，得頂點的縱坐標(biāo)，令y=0得頂點的橫坐標(biāo)，據(jù)此可寫出頂點的坐標(biāo). ［師］很好！同學(xué)們對橢圓的簡單幾何性質(zhì)，掌握得基本熟練.下面，我們用類比的方法來研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì).（板書課題） Ⅱ.講授新課 ［師］上節(jié)課下課時，老師請同學(xué)們依照研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)的方法和步驟去試推雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，完成了這個作業(yè)的同學(xué)請舉手. ［生］舉手 ［師］好！請放下，哪位同學(xué)對照橢圓的簡單幾何性質(zhì)的順序，來談一下雙

8、曲線(a＞0,b＞0）的幾何性質(zhì)，并談?wù)勥@個性質(zhì)的討論方法. ［生甲］范圍，|x|≥a, 即x≥a,x≤-a 討論方法是由標(biāo)準(zhǔn)方程可知與一個非負(fù)數(shù)的差等于1，所以≥1，由此推得x的范圍.y除受到式子本身的制約外，沒有任何限制，說明雙曲線位于x≥a與x≤-a的區(qū)域內(nèi). ［師］好，請另一位同學(xué)接著說. ［生乙］對稱性，雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點都是對稱的，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，即雙曲線的中心. 討論方法是以-y代y，方程不變，所以雙曲線關(guān)于x軸對稱；以-x代x，方程不變，所以雙曲線關(guān)于y軸對稱；同時以-y代y，以-x代x，方程不變，所以雙曲線關(guān)于原點對稱.

9、 ［生丙］頂點，只有兩個，即（±a,0）. 討論方法是令y=0,得x=±a,因此雙曲線和它的一條對稱軸——x軸有兩個交點 A1（-a,0）,A2(a,0),所以雙曲線的頂點是（±a,0）. 令x=0時，解得y2=-b2,無實數(shù)解，說明雙曲線與它的另一條對稱軸——y軸沒有交點，故雙曲線頂點只有兩個. ［師］請注意：雙曲線(a＞0,b＞0)與y軸沒有交點，但我們也把B1（0，-b),B2（0，b）畫在y軸上.（打出多媒體課件） 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，實軸的長為2a,虛軸的長為2b，a是實半軸的長，b是虛半軸的長，焦點始終在實軸上.下面，請一

10、位同學(xué)來談一下離心率. ［生丁］雙曲線的焦距與實軸長的比e=叫做雙曲線的離心率.e=且e∈(1,+∞)，這是因為c＞a＞0. ［師］離心率對雙曲線張口的大小有什么影響？為搞清這個問題，我們先來看雙曲線特有的另外一個性質(zhì)——漸近線. 經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y=±b，這四條直線圍成一個矩形（打出多媒體課件），矩形的兩條對角線所在的直線的方程是——（教師可拉長語氣，等待學(xué)生作答）y=±x，從圖中可以看出，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近.我們觀察到的這個結(jié)論可靠不可靠呢？下面，我們來進行證明. 先取雙曲線在第一象限的部分進行證明，這一部

11、分的方程可寫成 y=(x＞a) 設(shè)M（x,y）是它上面的點，N（x,y）是直線y=x上與M有相同橫坐標(biāo)的點，則y=x ∵y== ∴|MN|=Y-y= ∴|MN|= ∴|MN|= 設(shè)|MQ|是點M到直線y=x的距離，則|MQ|＜|MN|，當(dāng)x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是說，雙曲線在第一象限部分從射線ON的下方逐漸接近于ON. 在其他象限內(nèi)，也可以證明類似的情況. 我們把兩條直線y=±x叫做雙曲線的漸近線. 在方程中，如果a=b，那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實軸和虛軸的長都等于2a,這時四條直線x=±a,y=

12、±a圍成正方形.漸近線方程為y=±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角，實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線. 利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖，具體做法：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后再過這兩個點并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分.最后根據(jù)雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線. 有了雙曲線的漸近線，我們再來討論離心率對雙曲線張口大小的影響，就方便了. 由等式c2-a2=b2可得 由上式可以看出，e越大，也越大，即漸近線y=±x的斜率的絕對值越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹

13、逐漸變得開闊，由此可知，雙曲線的離心率越大，它的張口就越大. Ⅲ.例題分析 ［例1］求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長是多少？虛半軸長呢？焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程各是什么？ ［師］要解決這個問題，首先需要怎樣做？ ［生］將所給的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程. ［師］好，下面請同學(xué)們完成此題. （學(xué)生在下面做，請一位同學(xué)在黑板上板書） （教師在巡視時可提出問題：化成標(biāo)準(zhǔn)方程后，可以看出焦點在哪個軸上呢？或者雙曲線的實軸在哪個坐標(biāo)軸上？寫出焦點坐標(biāo)、漸近線方程時一定要注意！） （學(xué)生解答之后，教師講解，也許漸近線方程會出錯，要告訴學(xué)生怎樣正確地寫出漸近線方程） ［師］根據(jù)雙曲線的

14、標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程的方法有兩種： 1.畫出以實軸長、虛軸長為鄰邊的矩形，寫出其對角線方程，特別要注意對角線的斜率的確定. 2.將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為0，即得雙曲線的漸近線方程，再據(jù)此推出y=kx的形式. 另外需要注意的是：若已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程則可以寫出其漸近線方程，但若已知雙曲線的漸近線方程，則不能僅據(jù)此確定a、b的值，只能確定a、b的關(guān)系，這點與離心率是類同的. Ⅳ.課堂練習(xí) 課本P113練習(xí)1、5 1.求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點和焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程： （1）x2-8y2=32 (2)9x2-y2=81 (3)x2-y2=-4 (4)

15、答案：（1）2a=8,2b=4;頂點坐標(biāo)為（4，0），（-4，0）；焦點坐標(biāo)為(6,0),(-6,0);e=;漸近線方程為y=±x. （2）2a=6,2b=18;頂點坐標(biāo)（3，0），（-3，0）；焦點坐標(biāo)（3，0），（-3，0）；e=;漸近線方程為y=±3x. （3）2a=4,2b=4;頂點坐標(biāo)是（0，2），（0，-2）；焦點坐標(biāo)為（0，2），（0，-2）；離心率e=;漸近線方程為x=±y. (4)2a=10,2b=14;頂點坐標(biāo)是（0，5），（0，-5）；焦點坐標(biāo)為（0，），（0，-）；離心率e=;漸近線方程為y=±x. 5.當(dāng)漸近線的方程為y=±x時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是嗎？如果

16、不一定，舉出一個反例. 答案：不一定是 反例：雙曲線的準(zhǔn)線方程為： y=±x. Ⅴ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們討論了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線.為了加深理解和掌握，大家可以與橢圓對照，比較異同點，準(zhǔn)確把握，同時，請同學(xué)們寫出焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的雙曲線的范圍、對稱性、頂點、實半軸長、虛半軸長、離心率、漸近線方程. Ⅵ.課后作業(yè) （一）課本P113習(xí)題8.4 1、5、6 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P111例2、例3 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）解有實際意義的題目關(guān)鍵是什么？ （2）不清楚雙曲線焦點位置時，其標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？是怎樣的？ （3）雙曲線的比值定義是什么？ （4）怎樣的直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線？ （5）對于確定的雙曲線，它有幾條準(zhǔn)線？ （6）中心在原點、焦點在y軸上的雙曲線，它的準(zhǔn)線方程是怎樣的？ ●板書設(shè)計 §8.4.1 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a＞b＞0) 范圍 對稱性 頂點 離心率 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a＞0,b＞0) 范圍 對稱性 頂點 離心率 漸近線 例1 練習(xí) 小結(jié)