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1、2022年高二數(shù)學(xué) 8.5拋物線及其標準方程(第一課時)大綱人教版必修課時安排2課時 從容說課拋物線是繼橢圓、雙曲線之后的第三種圓錐曲線，與前兩者不同的是學(xué)生在初中己學(xué)過“二次函數(shù)的圖象是拋物線”，在物理上也研究過“拋物線是拋體的運動軌跡”，這些足以說明拋物線在實際生活中應(yīng)用的廣泛性，在這節(jié)內(nèi)容里我們將更深入地研究拋物線的定義及其標準方程。通過類比的思想，可根據(jù)橢圓與雙曲線的第二定義順利得出拋物線及其焦點與準線的定義，接下來用同樣的思想建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼登蟪鰭佄锞€的標準方程，一共有四種（開口向上、向下、向左或向右），值得一提的是標準方程中的“P”P的幾何意義以及焦點坐標、準線方程與P的關(guān)系都是本
2、節(jié)重點.學(xué)生應(yīng)掌握如何根據(jù)標準方程求P、焦點坐標與準線方程，或根據(jù)后三者求標準方程，特別是對于一些有關(guān)距離的最值問題，學(xué)生必須靈活運用拋物線定義給予解決，讓其從中體會基礎(chǔ)知識與基本技能的重要.課 題8.5.1 拋物線及其標準方程（一）教學(xué)目標（一）教學(xué)知識點1.拋物線的定義.2.拋物線的四種標準方程形式及其對應(yīng)的焦點和準線.（二）能力訓(xùn)練要求1.掌握拋物線的定義及其標準方程.2.掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點坐標的關(guān)系.（三）德育滲透目標1.訓(xùn)練學(xué)生化簡方程的運算能力.2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.3.根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可以對學(xué)生進行運動、變化、對立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教
3、育.教學(xué)重點1.拋物線的定義及焦點與準線.2.拋物線的四種標準方程形式，以及p的意義.教學(xué)難點1.拋物線的四種圖形及標準方程的推導(dǎo)2拋物線定義及焦點、準線等知識的靈活運用.教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式通過回憶橢圓與雙曲線的第二定義可引入拋物線的定義，從而推出拋物線的四種標準方程.教具準備投影片兩張第一張：拋物線的四種形式（記作8.5.1 A）第二張：例題與課時小結(jié)（記作8.5.1 B）教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師我們知道，到一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡，當(dāng)常數(shù)在（0，1）內(nèi)變化時，軌跡是橢圓；當(dāng)常數(shù)大于1時，軌跡是雙曲線；那么當(dāng)常數(shù)等于1時軌跡是什么曲線呢？這就是今天我們要學(xué)習(xí)的第三種
4、圓錐曲線拋物線，以及它的定義和標準方程.板書課題“拋物線及其標準方程（1）”.師現(xiàn)在，同學(xué)們思考兩個問題：1.對拋物線大家已有了哪些認識？生在物理學(xué)中，拋物線被認為是拋體運動的軌跡；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象.師2.二次函數(shù)中拋物線的圖象特征是什么？生在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸平行于y軸，開口向上或開口向下兩種情形師如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了.今天我們突破函數(shù)研究中的限制，從一般意義上來研究拋物線.講授新課師如圖所示，把一根直尺固定在圖上直線l的位置，把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊
5、的一點A，取繩長等于點A到直角頂點C的長（即點A到直線l的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F，用鉛筆尖扣著繩子，使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線.請同學(xué)們說出這條曲線有什么特征？生這條曲線上任意一點P到F的距離與它到直線l的距離相等.再把圖板繞點F旋轉(zhuǎn)90，曲線即為初中見過的拋物線.師現(xiàn)在我們一起歸納拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.下面根據(jù)拋物線的定義來求其方程，大家先想想一般求曲線方程的步驟.生首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，然后在曲線上
6、任取一點坐標設(shè)為（x,y)，再根據(jù)題意找出x與y的關(guān)系即為所求方程.師現(xiàn)在大家自己求拋物線方程，根據(jù)拋物線定義，知道F是定點，l是定直線，從而F到l的距離為定值，設(shè)為p，則p是大于0的數(shù).以下是學(xué)生的幾種不同求法：解法一：以l為y軸，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標系（如右圖所示），則定點F（p,0)設(shè)動點M（x,y)，由拋物線定義得：化簡得：y2=2px-p2(p0)解法二：以定點F為原點，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標系（如右圖所示），則定點F（0，0），l的方程為x=-p.設(shè)動點M（x,y)，由拋物線定義得：=|x+p|化簡得：y2=2px+p2(p0)解法三：取過焦點F且
7、垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，如右圖所示，則有F（,0）,l的方程為x=-.設(shè)動點M（x,y），由拋物線定義得：化簡得y2=2px(p0)師通過比較可以看出，第三種解法的答案不僅具有較簡的形式，而且方程中一次項的系數(shù)是焦點到準線距離的2倍.我們把這個方程叫做拋物線的標準方程，它表示拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是（,0），準線方程是x=-.現(xiàn)在大家開始做課本P118上的練習(xí)第1題.學(xué)生們經(jīng)過一番運算，得出當(dāng)坐標系變?yōu)橐赃^焦點且垂直于直線l的直線作為y軸，原點和拋物線都不變時，拋物線方程為x2=2py.師一條拋物線，由于它在坐標系的位置
8、不同，方程也不同，有四種不同的情況，如下表所示：（打出投影片8.5.1 A）圖形標準方程焦點坐標準線方程y2=2px(p0)（,0）x=-y2=-2px(p0)（-,0）x=x2=2py(p0)（0,）y=-x2=-2py(p0)（0,-）y=師下面結(jié)合表格，看下列例題：（打開8.5.1 B)1.已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程.2.已知拋物線的焦點坐標是F（0，-2），求它的標準方程.分析：1.先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點坐標和準線方程.2.先根據(jù)焦點位置確定拋物線類型，設(shè)出標準方程，求出p，再寫出標準方程.解：1.拋物線方程為y2=
9、6xp=3則焦點坐標是（，0）準線方程是x=-2.焦點在y軸的負半軸上，且=2p=4則所求拋物線的標準方程是x2=-8y.課堂練習(xí)請學(xué)生板演（1）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：焦點是F(0,3)，準線方程是x=-，焦點到準線的距離是2.解：焦點是F（0，3）拋物線開口向上，且=3則p=6所求拋物線方程是x2=12y準線方程是x=-拋物線開口向右，且=則p=所求拋物線方程是y2=x焦點到準線的距離是2,p=2所求拋物線方程是y2=4x、y2=-4x、x2=4y、x2=-4y(2)求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：y2=20x,x2+8y=0,2y2+5x=0.解：拋物線方程為y2=20x,p=10則焦點坐標是F(5,0)準線方程是x=-5拋物線方程是x2+8y=0,即x2=-8yp=4則焦點坐標是F（0，-2）準線方程是y=2拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=-xp=則焦點坐標是F(-,0)準線方程是x=.課時小結(jié)由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式都只含有一個參數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件就可以求出拋物線的標準方程.當(dāng)拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就惟一確定.課后作業(yè)（一）課本P119習(xí)題8.5 2、4（二）預(yù)習(xí)內(nèi)容：該小節(jié)剩下的兩道例題.板書設(shè)計8.5.1 拋物線及其標準方程(一)拋物線 定義標準方程 推導(dǎo)例題練習(xí)題 課時小結(jié)
2022年高二數(shù)學(xué) 8.5拋物線及其標準方程(第一課時)大綱人教版必修
