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1、2022年高考數學專題復習導練測 第十章 第3講 二項式定理 理 新人教A版
一、選擇題
1．二項式6的展開式中的常數項是( )
A．20 B．－20
C．160 D．－160
解析 二項式(2x－)6的展開式的通項是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項式(2x－)6的展開式中的常數項是C·26－3·(－1)3＝－160.
答案 D
2．若二項式n的展開式中第5項是常數項，則正整數n的值可能為( )．
2、
A．6 B．10 C．12 D．15
解析 Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，當r＝4時，＝0，又n∈N*，∴n＝12.
答案 C
3．已知8展開式中常數項為1 120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是 ( )．
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
解析 由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數和為(1－a)8＝1或38.
答案 C
4．設n的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若M－N＝240
3、，則展開式中x的系數為( )．
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析 由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案 B
5．設a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝( )．
A．0 B．1 C．11 D．12
解析 512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，結合選項可得a＝12時，512 012＋a能被13整除．
答案
4、D
6．已知00)與y＝|logax|的大致圖象如圖所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.
答案 B
二、填空題
7． 18的展開式中含x15的項的系數為________(結果用數值表示)．
解析 Tr＋1＝
5、Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系數為(－1)2·C2＝17.
答案 17
8．已知(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數項，n∈N*且2≤n≤8，則n＝________.
解析 n展開式中的通項為
Tr＋1＝Cxn－rr
＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，
將n＝2,3,4,5,6,7,8逐個檢驗可知
n＝5.
答案 n＝5
9．若(cosφ＋x)5的展開式中x3的系數為2，則sin＝________.
解析 由二項式定理得，x3的系數為Ccos2φ＝2，
∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.
6、
答案 －
10．設二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數為A，常數項為B.若B＝4A，則a的值是________．
解析 由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，
得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案 2
三、解答題
11．已知二項式n的展開式中各項的系數和為256.
(1)求n；(2)求展開式中的常數項．
解 (1)由題意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.
(2)該二項展開式中的第r＋1項為Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此時，常數項為T3＝C＝28.
12．已知等差數列2
7、,5,8，…與等比數列2,4,8，…，求兩數列公共項按原來順序排列構成新數列{Cn}的通項公式．
解 等差數列2,5,8，…的通項公式為an＝3n－1，
等比數列2,4,8，…的通項公式為bk ＝2k ，令3n－1＝2k ，n∈N*，k ∈N*，
即n＝＝
＝，
當k ＝2m－1時，m∈N*，
n＝∈N*，
Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．
13．已知(a2＋1)n展開式中的各項系數之和等于5的展開式的常數項，而(a2＋1)n的展開式的系數最大的項等于54，求a的值．
解 5的展開式的通項為Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常數項T5
8、＝C×＝16.又(a2＋1)n展開式的各項系數之和等于2n，由題意知2n＝16，得n＝4.由二項式系數的性質知，(a2＋1)n展開式中系數最大的項是中間項T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.
14．已知n，
(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數；
(2)若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項．
解 (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
當n＝7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5.
∴T4的系數為C423＝，
T5的系數為C324＝70，
當n＝14時，展開式中二項式系數最大的項是T8.
∴T8的系數為C727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．設Tk＋1項的系數最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展開式中系數最大的項為T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
2022年高考數學專題復習導練測 第十章 第3講 二項式定理 理 新人教A版
