3、B時，m∈A不一定成立．
∴“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要條件．
2．(xx·安徽改編)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是________．(填序號)
①p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；
②p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的圖象不過第二象限；
③p：x＝1.q：x2＝x；
④p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．
答案?、?
解析 ①中，由于a>b，c>d?a＋c>b＋d，而a＋c>b＋d卻不一定推出a>b，c>d，故①中p是q的必要不充分條件；②中，當a>1，b>1時，函數(shù)f(x)＝ax
4、－b不過第二象限，當f(x)＝ax－b不過第二象限時，有a>1，b≥1，故②中p是q的充分不必要條件；③中，因為x＝1時有x2＝x，但x2＝x時不一定有x＝1，故③中p是q的充分不必要條件；④中p是q的充要條件．
3．設a、b都是非零向量，那么命題“a與b共線”是命題“|a＋b|＝|a|＋|b|”的________條件．
答案 必要不充分
解析 |a＋b|＝|a|＋|b|?a、b同向?a與b共線；反之，當a與b共線時，不一定有|a＋b|＝|a|＋|b|，故a與b共線是|a＋b|＝|a|＋|b|的必要不充分條件．
4．與命題“若a∈M，則b M”等價的命題是_______________
5、_____．
答案 若b∈M，則a M
解析 因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可．
5．給出下列命題：
①原命題為真，它的否命題為假；
②原命題為真，它的逆命題不一定為真；
③一個命題的逆命題為真，它的否命題一定為真；
④一個命題的逆否命題為真，它的否命題一定為真；
⑤“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R”的逆命題．
其中真命題是________．(把你認為正確命題的序號都填在橫線上)
答案?、冖邰?
解析 原命題為真，而它的逆命題、否命題不一定為真，互為逆否命題同真同假，故①④錯誤，②③正確．又因為不等式mx2－2(m
6、＋1)x＋m＋3>0的解集為R，
由
??m>1.
故⑤正確．
探究點一 四種命題及其相互關系
例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．
(1)實數(shù)的平方是非負數(shù)；
(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的?。?
解題導引 給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定．
解 (1)逆命題：若一個數(shù)的平方是非負數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù)．真命題．
否命題：若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負數(shù)．真命題．
逆否命題：若一個
7、數(shù)的平方不是非負數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù)．真命題．
(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．真命題．
否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．真命題．
逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．假命題．
(3)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．真命題．
否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的?。婷}．
逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．真命題．
變式遷移1 有下列四個命題：
①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)
8、”的逆命題；
②“全等三角形的面積相等”的否命題；
③“若q≤1，則x2＋2x＋q＝0有實根”的逆否命題；
④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題．
其中真命題的序號為________．
答案 ①③
解析?、俚哪婷}是“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，真；②的否命題是“不全等的三角形的面積不相等”，假；③若q≤1，則Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有實根，其逆否命題與原命題是等價命題，真；
④的逆命題是“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”，假．
探究點二 充要條件的判斷
例2 給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(
9、x－3)＝0.
(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根．
(4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．
解 (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.
∴p是q的充分不必要條件．
(2)∵兩個三角形相似兩個三角形全等；
但兩個三角形全等?兩個三角形相似．
∴p是q的必要不充分條件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實根；
方程x2－x－m＝0無實根m<－2.
∴p是q的充分不必要條件．
(4)∵矩形的對角線相等，∴p?q；
而對角線相等的四邊形不一
10、定是矩形，∴qp.
∴p是q的充分不必要條件．
變式遷移2 下列各小題中，p是q的充要條件的是________．(填序號)
①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點；
②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函數(shù)；
③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A；q：?UB??UA.
答案?、佗?
解析?、賟：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點?q：Δ＝m2－4(m＋3)>0?q：m<－2或m>6?p；②當f(x)＝0時，由qp；③若α，β＝kπ＋(k∈Z)時，顯然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p：A∩B＝
11、A?p：A?B?q：?UA??UB.故①④符合題意．
探究點三 充要條件的證明
例3 設a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.
解題導引 有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”?“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性．
證明 (1)必要性：設方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，
兩式相減可得x0＝，將此式代入x＋2ax0＋b2＝0
12、，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，
(2)充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
將①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故兩方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.
變式遷移3 已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
證明 (1)必要性：
13、∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
(2)充分性：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，∴a≠0且b≠0.
∵a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
轉(zhuǎn)化與化歸思想
例 (14分)已知兩個關于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4
14、m－5＝0，且m∈Z.求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件．
【答題模板】
解 ∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0. [2分]
另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，兩方程都要有實根，
∴
解得m∈[－，1]． [6分]
∵兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù)，
∴，
15、 [10分]
∴m為4的約數(shù)，∴m＝－1或1，當m＝－1時，
第一個方程x2＋4x－4＝0的根為非整數(shù)，
而當m＝1時，兩方程均為整數(shù)根，
∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m＝1. [14分]
【突破思維障礙】
本題涉及到參數(shù)問題，先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想Δ≥0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數(shù)．
【易錯點剖析】
易忽略一元二次方程這個條件隱含著m≠0，不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是整數(shù)．
16、
1．研究命題及其關系時，要分清命題的題設和結(jié)論，把命題寫成“如果……，那么……”的形式，當一個命題有大前提時，必須保留大前提，只有互為逆否的命題才有相同的真假性．
2．在解決充分條件、必要條件等問題時，要給出p與q是否可以相互推出的兩次判斷，同時還要弄清是p對q而言，還是q對p而言．還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別．
3.本節(jié)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學思想。
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．(xx·天津模擬)給出以下四個命題：
①若ab≤0，則a≤0或b≤0；②若a>b，則am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，則A＝B；④
17、在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，則方程有實數(shù)根．其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是________．(填序號)
答案 ③
解析 對命題①，其原命題和逆否命題為真，但逆命題和否命題為假；對命題②，其原命題和逆否命題為假，但逆命題和否命題為真；對命題③，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為真；對命題④，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假．
2．(xx·淮安月考)對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充分且必要條件；②“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充分且必要條件；③“a>b”是“|a|>|b|”的充分
18、條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件．其中真命題的個數(shù)為________．
答案 2
解析?、冖苷_；對于①，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件；對于③，“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要條件．
3．(xx·北京改編)“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的______________條件．
答案 充分不必要
解析 由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos 2α＝.
由cos 2α＝得2α＝2kπ±(k∈Z)．
∴α＝kπ±(k∈Z)．
所以cos 2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)．
4．(xx·徐州模擬)關于命題“若拋物線y＝ax2＋bx
19、＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中正確的個數(shù)為________．
答案 1
解析 對于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題，但其逆命題：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”是一個假命題，因為當不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空時，可以有a>0，即拋物線的開口可以向上．因此否命題也是假命題．
5．(xx·揚州模擬)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的
______
20、________條件．
答案 必要不充分
解析 A＝{x|－4≤x≤4}，若A?B，則a>4，a>4a>5，但a>5?a>4.
6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________條件．
答案 充要
7．(xx·鎮(zhèn)江模擬)已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，則p是q的
____________條件．
答案 必要不充分
解析 由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2 ＝0得x＝1且y＝2，所
以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分條件．
8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，
21、如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．
答案 [3,8)
解析 因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，
解得m≥3；又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，
解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3≤m<8.
二、解答題(共42分)
9．(12分)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．
(1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；
(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，則x、y全為零．
解 (1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q<1，為假命題．
否命題：若q≥1，則方
22、程x2＋2x＋q＝0無實根，為假命題．
逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，為真命題．(4分)
(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題．
否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，為真命題．
逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0，為真命題．(8分)
(3)逆命題：若x、y全為零，則x2＋y2＝0，為真命題．
否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為零，為真命題．
逆否命題：若x、y不全為零，則x2＋y2≠0，為真命題．(12分)
10．(14分)(xx·連云港模擬)設p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：實數(shù)x滿足x2－x－6≤0，
23、或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分條件，求a的取值范圍．
解 設A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}
＝{x|3a0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．(8分)
∵綈p是綈q的必要不充分條件，
∴綈q?綈p，且綈p綈q.
則{x|綈q}{x|綈p}，
而{x|綈q}＝?RB＝{x|－4≤x<－2}，
{x|綈p}＝?RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0
24、}，
∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，
則或(13分)
綜上，可得－≤a<0或a≤－4.(14分)
11．(16分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.
證明 充分性：當q＝－1時，
a1＝S1＝p＋q＝p－1.(2分)
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
當n＝1時成立．(5分)
于是＝＝p(n∈N＋)，
即數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(7分)
必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0，p≠1，
∴＝＝p.(13分)
∵{an}為等比數(shù)列，
∴＝＝p，＝p，
即p－1＝p＋q.∴q＝－1.(15分)
綜上所述，q＝－1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件．(16分)
2022年高考數(shù)學大一輪復習 1.2命題及其關系、充分條件與必要條件學案 理 蘇教版
