2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時(shí)空間向量的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時(shí)空間向量的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 理 新人教版考綱索引1. 用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面的位置.2. 用向量證明空間中的平行或垂直關(guān)系.3. 空間向量求空間角的關(guān)系.課標(biāo)要求1. 理解直線的方向向量與平面的法向量.2. 能用語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.3. 能用向量的方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).4. 了解空間向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.5. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算問題.(4)設(shè)平面和的法向量分別為u1,u2,則.3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)

2、設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2.(2)設(shè)直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則l.(3)設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2,則.4.空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2所成的角滿足cos=.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m,n,則直線l與平面所成的角滿足sin=.(3)求二面角的大小如圖(1),AB,CD是二面角-l-的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小=.如圖(2)(3),n1,n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面,的法向量,則二面角的大小滿足cos=.5.點(diǎn)面距的求法如圖,設(shè)AB為平面的一條

3、斜線段,n為平面的法向量,則B到平面的距離d=.基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是().A. ac,bcB. ab,acC. ac,abD. 以上都不對(duì)2.若平面,垂直,則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是().A. n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B. n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C. n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D. n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)3.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面的法向量,若cos=-,則l與所成的角為().A. 30B. 60C.

4、120D. 150指 點(diǎn) 迷 津【想一想】利用空間向量求角有哪些誤區(qū)?【答案】(1)異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角都可以轉(zhuǎn)化成空間向量的夾角來求;(2)空間向量的夾角與所求角的范圍不一定相同,如兩向量的夾角范圍是0,兩異面直線所成的角的范圍是;(3)用平面的法向量求二面角時(shí),二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補(bǔ)兩種情況.考點(diǎn)透析考向一利用空間向量證明平行問題例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN平面A1BD.【方法總結(jié)】用向量證明線面平行的方法有:(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;(2)證明該直線

5、的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行;(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.變式訓(xùn)練(第1題)考向二利用空間向量證明垂直問題例2如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1平面A1BD.【方法總結(jié)】證明線面平行和垂直問題,可以用幾何法,也可以用向量法.用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量,再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理.若能建立空間直角坐標(biāo)系,其證法將更為靈活方便.變式訓(xùn)練2.(xx安徽淮北一中高三月考)如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,BAC=90,AB=AC=AA,點(diǎn)M,N分別為AB和BC的中點(diǎn).(1)證明

6、:MN平面AACC;(2)若二面角A-MN-C為直二面角,求的值.(第2題)考向三求異面直線所成的角例3如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E,F分別是線段AB,BC上的點(diǎn),且EB=BF=1.求直線EC1與FD1所成的角的余弦值.【方法總結(jié)】本題可從兩個(gè)不同角度求異面直線所成的角.一是把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,二是體現(xiàn)傳統(tǒng)方法(三步:作,證,算),應(yīng)注意體會(huì)兩種方法的特點(diǎn).“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵,可平移線段或化為向量的夾角.一般地,異面直線AC,BD的夾角的余弦值為cos=.變式訓(xùn)練3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=

7、D1F1= ,求BE1與DF1所成的角的余弦值.(第3題)考向四求二面角例4(xx北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)求證:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得ADA1B,并求的值.【方法總結(jié)】求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量,然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.變式訓(xùn)練4.(xx湖北)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC平面A

8、BC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn).(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;(2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足,記直線PQ與平面ABC所成的角為,異面直線PQ與EF所成的角為,二面角E-l-C的大小為,求證:sin=sinsin.(第4題)考向五利用空間向量解決探索性問題例5如圖,四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,PB與底面所成的角為45,底面ABCD為直角梯形,ABC=BAD=90, .(1)求證:平面PAC平面PCD;(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE平面PAB?若存在,請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理

9、由.【方法總結(jié)】對(duì)于探索性問題,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題.若有解且滿足題意,則存在,若有解但不滿足題意或無解,則不存在.變式訓(xùn)練5.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點(diǎn),試問在A1B上是否存在一點(diǎn)E使得點(diǎn)A1到平面AED的距離為?(第5題)經(jīng)典考題典例(xx浙江)如圖,在四棱錐A-BCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=. (1)求證:DE平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.【解題指南】(1)根據(jù)兩垂直平面

10、中在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面的性質(zhì)加以證明線面垂直,也可通過空間向量,利用對(duì)應(yīng)向量與平面的法向量的平行來證明;(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的數(shù)量積來求解對(duì)應(yīng)的二面角的大小問題.(1)(2)真題體驗(yàn)1. (xx全國(guó)新課標(biāo))如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.(第1題)2. (xx廣東)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于點(diǎn)F,FECD,交PD于點(diǎn)E.(1)證明:CF平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值.(第2題)參考答案與解析 知識(shí)梳理基礎(chǔ)自測(cè) (第5題)考點(diǎn)透析 變式訓(xùn)練經(jīng)典考題真題體驗(yàn)