2022年高考數(shù)學二輪復習 專題6 解析幾何 第3講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文

《2022年高考數(shù)學二輪復習 專題6 解析幾何 第3講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學二輪復習 專題6 解析幾何 第3講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題6 解析幾何 第3講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系訓練提示: 用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù),可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,方程組消元后要注意所得方程的二次項系數(shù)是否含有參數(shù),若含參數(shù),需按二次項系數(shù)是否為零進行分類討論,只有二次項系數(shù)不為零時,方程才是一元二次方程,才可以用判別式的符號判斷方程解的個數(shù),從而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.1.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:+=1(ab0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2

2、=4x相切,求直線l的方程.解:(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(-1,0),所以c=1,將點P(0,1)代入橢圓方程+=1,得=1,即b2=1,所以a2=b2+c2=2,所以橢圓C1的方程為+y2=1.(2)直線l的斜率顯然存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因為直線l與橢圓C1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,整理得2k2-m2+1=0,由消去y并整理得,k2x2+(2km-4)x+m2=0,因為直線l與拋物線C2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1,綜合,解得或所以直線

3、l的方程為y=x+或y=-x-.2.若雙曲線E:-y2=1(a0)的離心率等于,直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A,B兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若|AB|=6,點C是雙曲線上一點,且=m(+),求k,m的值.解:(1)由得故雙曲線E的方程為x2-y2=1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*)因為直線與雙曲線右支交于A,B兩點,故即所以k的取值范圍為(1,).(2)由(*)得x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=2=6,整理得28k4-55k2+25=0,所以k2=或k2=.又1kb0)的中心為O,它的一個頂點為(0,1),離心率為,過

4、其右焦點的直線交該橢圓于A,B兩點.(1)求這個橢圓的方程;(2)若=0,求OAB的面積.解:(1)因為=,所以c2=a2,依題意b=1,所以a2-c2=1,所以a2-a2=1,所以a2=2,所以橢圓的方程為+=1.(2)橢圓的右焦點為(1,0),當直線AB與x軸垂直時,A,B的坐標為(1,),(1,-),此時=0,所以直線AB與x軸不垂直.設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1),與+=1,聯(lián)立得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),所以x1+x2=,x1x2=,M(,),因為=0,即(x1,y1

5、)(x2,y2)=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2(x1+x2)+k2=0,即-+k2=0,所以k2=2,所以k=,所以|AB|2=4|OM|2=4()2+()2=,所以|AB|=.RtOAB斜邊高為點O到直線AB的距離d=,所以O(shè)AB的面積為d|AB|=.4.(xx昆明模擬)設(shè)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點為F,準線為l,MC,以M為圓心的圓M與l相切于點Q,Q的縱坐標為p,E(5,0)是圓M與x軸的不同于F的一個交點.(1)求拋物線C與圓M的方程;(2)過F且斜率為的直線n與C交于A,B兩點,求ABQ的面積.解:(1)由拋

6、物線的定義知,圓M經(jīng)過焦點F(,0),Q(-,p),點M的縱坐標為p,又MC,則M(,p),|MF|=2p.由題意,M是線段EF的垂直平分線上的點,所以=,解得p=2,故拋物線C:y2=4x,圓M:(x-3)2+(y-2)2=16.(2)由題意知直線n的方程為y=(x-1),由解得或設(shè)A(4,4),B(,-1),則|AB|=.點Q(-1,2)到直線n:4x-3y-4=0的距離d=,所以ABQ的面積S=|AB|d=.圓錐曲線的軌跡問題訓練提示:求動點的軌跡方程的關(guān)鍵:根據(jù)題目條件選擇合適的方法,尋找關(guān)于動點,橫縱坐標所滿足的關(guān)系式.5.(xx甘肅蘭州第二次監(jiān)測)已知點P為y軸上的動點,點M為x軸

7、上的動點,點F(1,0)為定點,且滿足+=0,=0.(1)求動點N的軌跡E的方程;(2)過點F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點A,B,試判斷在x軸上是否存在點C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,請說明理由.解:(1)設(shè)N(x,y),則由+=0,得P為MN的中點.所以P(0,),M(-x,0).所以=(-x,-),=(1,-).所以=-x+=0,即y2=4x.所以動點N的軌跡E的方程y2=4x.(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),由消去x得y2-y-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=-4.假設(shè)存在點C(m,0)滿足條件,則=(x1-m,y1

8、),=(x2-m,y2),所以=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=()2-m()+m2-4=-(y1+y2)2-2y1y2+m2-3=m2-m(+2)-3.顯然關(guān)于m的方程m2-m(+2)-3=0有解.即在x軸上存在點C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.【教師備用】 已知平面上的動點R(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線RA,RB的斜率分別為k1,k2且k1k2=-,設(shè)動點R的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點S(4,0)的直線與曲線C交于M,N兩點,過點M作MQx軸,交曲線C于點Q.求證:直線NQ過定點,并求出定點坐標.解:(1)由題知x2,

9、且k1=,k2=,則=-,整理得,曲線C的方程為+=1(y0).(2)設(shè)NQ與x軸交于D(t,0),則直線NQ的方程為x=my+t(m0),記N(x1,y1),Q(x2,y2),由對稱性知M(x2,-y2),由消x得,(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,所以=48(3m2+4-t2)0,故由M、N、S三點共線知kNS=kMS,即=,所以y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以=0,即24m(t-1)=0,t=1,所以直線NQ過定點D(1,0). 類型一:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.如圖,F1(-c,0),F2(c,0

10、)分別是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點,過點F1作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P,過點F2作直線PF2的垂線交直線x=于點Q.(1)若點Q的坐標為(4,4),求橢圓C的方程;(2)證明:直線PQ與橢圓C只有一個交點.(1)解:將點P(-c,y1)(y10)代入+=1得y1=,PF2QF2=-1,即2b2=ac(4-c).又Q(4,4),所以=4,c2=a2-b2(a,b,c0),由得a=2,c=1,b=,所以橢圓C的方程為+=1.(2)證明:設(shè)Q(,y2).由(1)知P(-c,).所以=-,=.所以PF2QF2-=-1y2=2a,所以kPQ=.則直線PQ的方程可表示為y-=(x+c),

11、即cx-ay+a2=0,由消去y可得a2x2+2ca2x+a4-a2b2=0.因為a0,所以x2+2cx+a2-b2=0,即x2+2cx+c2=0,此時=(2c)2-4c2=0.故直線PQ與橢圓C只有一個交點.2.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點.(1)設(shè)橢圓C上的點(,)到F1,F2兩點距離之和等于2,寫出橢圓C的方程;(2)設(shè)過(1)中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A,B,求ABF1的面積;(3)設(shè)點P是橢圓C上的任意一點,過原點的直線l與橢圓相交于M,N兩點,若直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN,試探究kPMkPN的值是否與點P及直線l

12、有關(guān),并證明你的結(jié)論.解:(1)由于點(,)在橢圓上,所以解得故橢圓C的方程為+y2=1.(2)由(1)知橢圓C的左、右焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0),|F1F2|=2,所以過橢圓的焦點F2且斜率為1的直線方程為y=x-1,將其代入+y2=1,整理得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=.當x1=0時,y1=-1,當x2=時,y2=.所以ABF1的面積:=+=|F1F2|y1|+|F1F2|y2|=21+2=.(3)過原點的直線l與橢圓+y2=1相交的兩點M,N關(guān)于坐標原點對稱,設(shè)M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),M,N,P在橢圓上,應滿足橢圓方程,得+=1,+

13、y2=1,兩式相減得=-.又因為kPM=,kPN=,所以kPMkPN=-.故kPMkPN的值與點P的位置無關(guān),同時與直線l無關(guān).類型二:弦長、面積及與弦中點、弦端點相關(guān)的問題3.平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:+=1(ab0)右焦點的直線x+y-=0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上的兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值.解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則+=1,+=1,=-1,由此可得=-=1.因為x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由題意知,M

14、的右焦點為(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程為+=1.(2)由解得或因此|AB|=.由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n(-nb0)的焦距為2,A是E的右頂點,P,Q是E上關(guān)于原點對稱的兩點,且直線PA的斜率與直線QA的斜率之積為-.(1)求E的方程;(2)過E的右焦點作直線與E交于M,N兩點,直線MA,NA與直線x=3分別交于C,D兩點,設(shè)ACD與AMN的面積分別記為S1,S2,求2S1-S2的最小值.解:(1)設(shè)P(x0,y0),Q(-x0,-y0),則=(a2-),kPAkQA=-,依題意有=,又c=1,所以解得a2=4,b2=3,故E的方程為+=1.(2)

15、設(shè)直線MN的方程為x=my+1,代入E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-,y1y2=-,直線MA的方程為y=(x-2),把x=3代入得yC=,同理yD=.所以|CD|=|yC-yD|=3,所以S1=|CD|=.S2=|AF|y1-y2|=,2S1-S2=3-,令=t(t1),則m2=t2-1,所以2S1-S2=3t-,記f(t)=3t-,則f(t)=3+0,所以f(t)在1,+)上是單調(diào)遞增的,所以f(t)的最小值為f(1)=.即2S1-S2的最小值為.類型三:圓錐曲線與向量的綜合5.(xx山西模擬)已知橢圓C的中心在原點,焦點在

16、x軸上,焦距為2,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l經(jīng)過點M(0,1),且與橢圓C交于A,B兩點,若=2,求直線l的方程.解:(1)設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),因為c=1,=,所以a=2,b=,所以橢圓方程為+=1.(2)若直線l的斜率不存在,則A(0,-),B(0,),此時|=+1,|=-1,顯然不滿足=2,故直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立方程得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=,所以直線l的方程為y=x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=

17、0.【教師備用】 (xx黑龍江高三模擬)已知A,B,C是橢圓M:+=1(ab0)上的三點,其中點A的坐標為(2,0),BC過橢圓的中心,且=0,|=2|.(1)求橢圓M的方程;(2)過點(0,t)的直線l(斜率存在時)與橢圓M交于兩點P,Q,設(shè)D為橢圓M與y軸負半軸的交點,且|=|,求實數(shù)t的取值范圍.解:(1)因為|=2|且BC過(0,0),則|=|.因為=0,所以O(shè)CA=90,又因為a=2,所以C(,).設(shè)橢圓M的方程為+=1,將C點坐標代入得+=1,解得c2=8,b2=4.所以橢圓M的方程為+=1.(2)由條件知D(0,-2),當k=0時,顯然-2t0可得,t21,由得,1t4.綜上實數(shù)t的取值范圍為(-2,4).