2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十一章 第7講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十一章 第7講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 理 新人教A版 一、選擇題 1．某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，如果從班中隨機(jī)地找出5名同學(xué)，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)X～B，則E(2X＋1)等于(　　) A. B. C．3 D. 解析 因為X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1 ＝. 答案 D 2．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種

2、子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　)． A．100 B．200 C．300 D．400 解析　種子發(fā)芽率為0.9，不發(fā)芽率為0.1，每粒種子發(fā)芽與否相互獨(dú)立，故設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為ξ，則ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需補(bǔ)種的期望為E(X)＝2·E(ξ)＝200. 答案　B 3．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P －p p A．1 B. C. D．2 解析　由p≥0，－p≥0，則0≤p≤

3、，E(ξ)＝p＋1≤. 答案　B 4．已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，則E(η)，D(η)分別是 (　　)． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析　由已知隨機(jī)變量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　B 5．一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為 (　　)． A

4、. B. C. D. 解析　由已知得，3a＋2b＋0×c＝2， 即3a＋2b＝2，其中0D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)

5、2) D．D(ξ1)與D(ξ2)的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān) 解析　利用期望與方差公式直接計算． E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5 ＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋…＋0.2× ＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． ∴E(ξ1)＝E(ξ2)，記作， ∴D(ξ1)＝0.2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2] ＝0.2[x＋x＋…＋x＋52－2(x1＋x2＋…＋x5)] ＝0.2(x＋x＋…＋x－52)． 同理D(ξ2)＝0.22＋2＋…＋2－5 2. ∵2<

6、，…，2<， ∴2＋2＋…＋2D(ξ2)． 答案　A 二、填空題 7．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 解析　x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6. ① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡得7x＋10y＝5.4. ② 由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案　0.4 8．馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表： ξ 1 2 3 P ？

7、！ ？ 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 解析　令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 答案　2 9．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，每次摸取一個球記下顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)＝________. 解析 每次取球時，紅球被取出的概率為，8次取球看做8次獨(dú)立重復(fù)試驗，紅球出現(xiàn)的次數(shù)X～B，故D(X)＝8××＝2. 答案 2 10．罐中有6個紅球，4

8、個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則ξ的期望E(ξ)＝________. 解析　因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，ξ為取得紅球(成功)的次數(shù)，則ξ～B， 從而有E(ξ)＝np＝4×＝. 答案　 三、解答題 11．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值． 解　(1)X的分布列為 X 0

9、 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(X)＋b， 所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或即為所求． 12．甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動員射中目標(biāo)的概率分別為，a，a(0

10、望； (2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2， P(ξ＝1)＝(1－a)2＋a(1－a)＋(1－a)a＝(1－a2)， P(ξ＝2)＝a2＋(1－a)a＋a(1－a)＝(2a－a2)， P(ξ＝3)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P (1－a)2 (1－a2) (2a－a2) ξ的數(shù)學(xué)期望為 E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a)2＋2×(2a－a

11、2)＋3×＝. (2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)， P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝， P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝. 由及0

12、 0.4 0.1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站． (1)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解　(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i＝1,2. 用頻率估計相應(yīng)的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋

13、0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B2)＞P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2. (2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站， 由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由題意知，A，B獨(dú)立， ∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04， P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0

14、.54 ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5. 14．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這3個景點(diǎn)的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響，用X表示該游客離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值． (1)求X的分布列及期望； (2)記“f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0”為事件A，求事件A的概率． 解　(1)設(shè)游客游覽甲、乙、丙景點(diǎn)分別記為事件A1、A2、A3，已知A1、A2、 A3相互獨(dú)立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.游客游覽的景點(diǎn)數(shù)可能

15、 取值為0、1、2、3，相應(yīng)的游客沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為3、2、1、0， 所以X的可能取值為1、3.則P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(　　) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P()·P()·P() ＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24. P(X＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以分布列為： X 1 3 P 0.76 0.24 ∴E(X)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48. (2)∵f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使得f(x0)＝0， ∴f(－3)·f(－1)≤0，即(－6X＋4)(－2X＋4)≤0， 解得：≤X≤2. ∴P(A)＝P＝P(X＝1)＝0.76.