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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)概念知識(shí)梳理1 蘇教版知識(shí)點(diǎn)反思梳理：【只要都有則函數(shù)就在區(qū)間上單調(diào)遞增】.觀察下列函數(shù)圖象不難發(fā)現(xiàn)：雖然函數(shù)都是遞增（遞減）函數(shù)，可是增減的快慢（陡峭程度）卻各不相同。究竟怎樣刻畫、區(qū)別函數(shù)的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大. 那么又是為了研究什么發(fā)明的“平均變化率”、“瞬時(shí)變化率“、”導(dǎo)數(shù)”呢？.發(fā)明一個(gè)什么樣的“數(shù)學(xué)工具模型”才能“刻畫變量變化的快與慢？” 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。如何量化曲線的陡峭程度？.平均變化率 ：一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率。簡(jiǎn)記為. 平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺(jué)化
2、”. 平均變化率量化一段曲線的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精確的”，.但應(yīng)注意當(dāng)很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。.【導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景：】1. 如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點(diǎn)是曲線 c 上一點(diǎn)作割線PQ當(dāng)點(diǎn)Q 沿著曲線c無(wú)限地趨近于點(diǎn)P，割線PQ無(wú)限地趨近于某一位置PT我們就把該位置上的直線PT，叫做曲線c在點(diǎn)P 處的切線割線斜率切線斜率也叫是函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.2.函數(shù)在該點(diǎn)處的這個(gè)具有預(yù)測(cè)、導(dǎo)性的數(shù)，數(shù)學(xué)上也常把它叫做“導(dǎo)數(shù)3.分別說(shuō)出下列符號(hào)語(yǔ)言的含義：； ； ； .4.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函
3、數(shù)值它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值5與的區(qū)別：在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意與是不一樣的，代表函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為0；而是函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即=0。例1.已知曲線在處的切線的傾斜角為，則 ， . 變式1：已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且有則？例2：.如圖，水以常速（單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：就是函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率.請(qǐng)分別觀察上述圖象隨著的增大值增加的快慢與切線斜率的大小關(guān)系？練習(xí)：（xx江西）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與
4、水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為練習(xí)：?jiǎn)挝粓A中弧AB長(zhǎng)為x，f（x）表示弧AB與弦AB所圍成弓形面積的2倍。則函數(shù)f（x）的圖像是（ ）A B C D解析一：定量分析?？闪谐鰂（x）=xsinx，知0x時(shí)，f（x）x，f（x）圖像在y=x下方；xx，f（x）圖像在y=x上方。選D解二：定性分析。當(dāng)x從增至2時(shí)，f（x）變化經(jīng)歷了從慢到快，從快到慢的過(guò)程，選D命題意圖與思路點(diǎn)撥：此題考查學(xué)生作圖、識(shí)圖、用圖的能力。解析二與解析三直接避開求f（x）解析式，把圖像與性質(zhì)對(duì)應(yīng)，通過(guò)性質(zhì)，作出判斷，本題對(duì)學(xué)生分析思考能力，要求較高。例3.若直線為函數(shù)
5、圖象的切線,求b的值和切點(diǎn)坐標(biāo).變式1.求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.變式2:求曲線y=x2過(guò)點(diǎn)(0,-1)的切線方程變式3:求曲線y=x3過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線方程變式4:已知直線,點(diǎn)P為y=x2上任意一點(diǎn),求P在什么位置時(shí)到直線距離最短.變式5:求函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).解：首先由得 知，兩曲線無(wú)交點(diǎn).，要與已知直線平行，須，故切點(diǎn)：（0 , 2）. .例4：【xx海南寧夏文21/22】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）求的解析式；（）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.解：（）方程可化為，當(dāng)時(shí)，；又，于是，解
6、得， 故（）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，由知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；所以點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為；故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為定值6.練習(xí)：曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為 。練習(xí)：（10全國(guó)2）（10）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則 . .【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力.【解析】，切線方程是，令，令，三角形的面積是，解得.練習(xí)：【致遠(yuǎn)中學(xué)等xx屆高三第一次調(diào)研yxOPMQN】14圖為函數(shù)軸
7、和直線分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N（0，1），若PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為 .【江蘇鹽城】8.設(shè)為曲線上一點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的范圍是,則點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是_.例5: 【啟東中學(xué)xx高三備課組】你能正確使用切點(diǎn)與交點(diǎn)嗎？15（本小題滿分16分）如圖，在函數(shù)的圖像上取4個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作切線（，如果，且圍成的圖形是矩形記為M（1）證明四邊形是平行四邊形；A1A2A3A4xy0（2）問(wèn)矩形M的短邊與長(zhǎng)邊的比是否有最大值，若有，求與的斜率，若沒(méi)有，請(qǐng)證明（1）設(shè)直線的斜率為（，由，得 -2分 由題意，又點(diǎn)不重合，故，從而，-5分因此，都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故四邊形是平行四邊形；-7
8、分（2）有最大值； -9分設(shè)，即，且設(shè)與的距離為，與的距離為 （k1）-11分令（x1），當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，故當(dāng)，-14分 因?yàn)?，因此矩形M的短邊與長(zhǎng)邊的比有最大值，與的斜率分別為和，-16分練習(xí)：已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。解：設(shè)l與相切于點(diǎn)，與相切于。對(duì)，則與相切于點(diǎn)P的切線方程為，即。 對(duì)，則與相切于點(diǎn)Q的切線方程為 ，即。 直線方程為y=0或y=4x-4。課外作業(yè)：1.已知函數(shù)（）的圖象為曲線（1）求過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍；（2）若在曲線上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）試問(wèn)：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說(shuō)明理由解：（1），則，即過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是；-4分（2）由（1）可知，-6分解得或，由或得：；-9分（3）設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B， 則切線方程是：， 化簡(jiǎn)得：，-11分 而過(guò)B的切線方程是， 由于兩切線是同一直線， 則有：，得，-13分 又由， 即 ，即 即， 得，但當(dāng)時(shí)，由得，這與矛盾。 所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)。-16分
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