2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理、余弦定理及解三角形習(xí)題 理 新人教A版(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理、余弦定理及解三角形習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·哈爾濱模擬)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面積為，則C＝________. 解析　法一　∵S△ABC＝|AB||AC|sin A＝， 即××1×sin A＝，∴sin A＝1，∴A＝90°， ∴C＝60°. 法二　由正弦定理，得＝，即＝， ∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝120°時，A＝30°， S△ABC＝≠(舍去).而當(dāng)C＝60°時，A＝90°， S△ABC＝，符合條件，故C＝60°. 答案　60°

2、2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則角A的大小為________. 解析　由正弦定理，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2 A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝. 答案　 3.(xx·哈爾濱、長春、沈陽、大連四市聯(lián)考)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為________. 解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴cos

3、 A＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面積為bcsin A＝. 答案　 4.(xx·泰州調(diào)研)張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是________km. 解析　畫出示意圖如圖，由條件知AB＝24×＝6(km).在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6(km)，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3(km). 答案　3 5.(xx·河南六市聯(lián)考)在銳角△

4、ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，則b的值為________. 解析　由S△ABC＝bcsin A＝，得bc＝3，① 又由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，可得b2＋c2＝6.② 由①②解得b＝. 答案　 6.(xx·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，則B＝________. 解析　由正弦定理知sin B＝＝＝，又因為a＞b，所以A＞B，所以B＝. 答案　 7.(xx·重慶卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，則c＝________.

5、 解析　由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4. 答案　4 8.(xx·江蘇卷)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是________. 解析　由sin A＋sin B＝2sin C，結(jié)合正弦定理得 a＋b＝2c. 由余弦定理得cos C＝＝＝≥＝，故≤cos C<1，故cos C的最小值為. 答案　 二、解答題 9.(xx·四川卷)已知A，B，C為△ABC的內(nèi)角，tan A，tan B是關(guān)于x的方程x2＋px－p

6、＋1＝0(p∈R)的兩個實根. (1)求C的大??； (2)若AB＝3，AC＝，求p的值. 解　(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判別式 Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0， 所以p≤－2，或p≥， 由根與系數(shù)的關(guān)系，有tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p， 于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0， 從而tan(A＋B)＝＝－＝－， 所以tan C＝－tan(A＋B)＝， 所以C＝60°. (2)由正弦定理，得sin B＝＝＝， 解得B＝45°，或B＝135°(舍去)，于是A＝180°－B－C＝75°， 則ta

7、n A＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝2＋， 所以p＝－(tan A＋tan B)＝－(2＋＋1)＝－1－. 10.(xx·蘇北四市一檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2－b2－c2＋bc＝0，2bsin A＝a，BC邊上中線AM的長為. (1)求角A和角B的大小； (2)求△ABC的面積. 解　(1)由a2－b2－c2＋bc＝0，得b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝，∴A＝， 由2bsin A＝a，得b＝a，∴B＝A＝. (2)設(shè)AC＝BC＝x，由余弦定理， 得AM2＝x2＋－2x··＝()2， 解得x＝2，故S△A

8、BC＝×2×2×＝2. (建議用時：20分鐘) 11.已知鈍角△ABC的面積為，AB＝1，BC＝，則AC等于________. 解析　∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或. 當(dāng)B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當(dāng)B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1， ∴AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意.故AC＝. 答案　 12.(xx·南京師大附中模擬)在△ABC中，三個

9、內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，則c＝________. 解析　∵＝2cos C，由正弦定理， 得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，或c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c＝2. 答案　2 13.(xx·全國Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是______

10、__. 解析　如圖，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF