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1、2022年高二數(shù)學上學期12月月考試題 理(VII)
注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題紙的相應位置。
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項.
1、如圖是正方體的平面展開圖，則在正方體中，有下列結(jié)論：
① BM∥DE； ② CN與BE是異面直線；
③ CN與BM成60°角； ④ DM與BN是異面直線．
其中正確結(jié)論的序號是( )
A．①②③ B．②
2、④ C．③④ D．②③④
2、已知正三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
3、已知二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 ，則該二面角的大小為( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
4、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A＝90°，且DB⊥BC，∠BCD＝30°.現(xiàn)將△ABC折起
3、，使得二面角A - BC - D為直角，則下列敘述正確的是( )
①·＝0； ②平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直； ③異面直線BC與AD所成的角為60°； ④直線DC與平面ABC所成的角為30°.
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
5、如圖所示，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD.若點M為平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP＝MC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為( )
6、已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，則動點P的軌跡是( )
A
4、．雙曲線 B．雙曲線的左支 C．一條射線 D．雙曲線的右支
7、直線4kx－4y－k＝0 (k∈R) 與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于( )
A. B．2 C. D．4
8、已知中心為(0，0)，一個焦點為F(0，5 )的橢圓截直線y＝3x－2所得弦的中點的橫坐標為，則該橢圓的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
9、已知P為橢圓＋＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4 上
5、的點，則|PM|＋|PN|的最小值為( )
A．5 B．7 C．13 D．15
10、已知A，B兩點均在焦點為F的拋物線y2＝2px(p>0)上，若||＋||＝4，線段AB的中點到直線x＝的距離為1，則p的值為( )
A．1 B．1或3 C．2 D．2或6
第Ⅱ卷（ 共70分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將正確答案填在相應位置上。
11、若a＝(2，1，－)，b＝(－1，5，)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為________．
6、
12、已知正方體ABCD - A1B1C1D1，則直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是 .
13、以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD.以A，B為焦點的橢圓恰好過C，D兩點，當梯形ABCD的周長最大時，此橢圓的離心率為________．
14、過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2＝4cx于點P.已知O為原點，若＝(＋)，則雙曲線的離心率為________．
三、
7、解答題：（本大題共4小題，共50分.）
15．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P - ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，
∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M，N分別為PC，PB的中點．
(1)求證：PB⊥DM；
(2)求平面ADMN與平面ABCD所成的二面角的余弦值；
(3)求點B到平面PAC的距離．
16.（本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,
,,,點M和N分別為的中點.
(I) 求證：平面； (II)求二面角的正弦值；
(III) 設為棱上的點，若直線和平面
所成角的正弦值為，求線段的
8、長
17．（本小題滿分12分）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點F的坐標是(1，0)，兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知過橢圓C的右焦點且不垂直于坐標軸的直線與橢圓交于A，B兩點，與y軸交于點M，且＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
18.（本小題滿分14分）設A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB.
(1)求A，B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；
(2)求證：直線AB過定點；
(3)過O作AB的垂線，垂足為P，求P的軌跡方程；
9、(4)求△AOB面積的最小值．
高二數(shù)學試題答案：
CDCBA CCCBB
; ; ;
15．(1)略； (2) ； (3)
16. (I)略； (II) ； (III) .
17．;
18.解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點P(x0，y0)，kOA＝，kOB＝.
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∵y＝2px1，y＝2px2，
∴·＋y1y2＝0. ∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2，
(2)證明：∵y＝2px1，y＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴當x1≠x2時，＝. ∴kAB＝，∴直線AB：y－y1＝(x－x1)．
∴y＝＋y1－. ∴y＝＋. ∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋. ∴AB過定點(2p，0)，設M(2p，0)，當x1＝x2時，知AB方程為x＝2p，過(2p，0)． 由上可知，直線AB過定點．
(3)
(4)S△AOB＝S△AOM＋S△BOM ＝|MO|(|y1|＋|y2|) ＝p(|y1|＋|y2|)≥2p＝4p2.
當且僅當|y1|＝|y2|＝2p時等號成立．∴△AOB的面積的最小值為4p2.
2022年高二數(shù)學上學期12月月考試題 理(VII)
