2022年高中數(shù)學(xué) 第四講《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》教案（1） 新人教版選修4-5

2022年高中數(shù)學(xué) 第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案（1） 新人教版選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是高中選修的重點(diǎn)內(nèi)容之一，包含數(shù)學(xué)歸納法的定義和數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位。本講主要復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點(diǎn)：（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征；（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；（3）活用起點(diǎn)的位置；（4）有的試題需要先作等價(jià)變換。例題精講例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法定義，證明基本步驟證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-=，右邊=，所以等式成立。2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即。那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立。點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法設(shè)要證命題為P（n）（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（kN且kn0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確要證明的等式左邊共2n項(xiàng)，而右邊共n項(xiàng)。f(k)與f(k+1)相比較，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，并且二者右邊的首項(xiàng)也不一樣，因此在證明中采取了將與合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k+1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。練習(xí)：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗(yàn)證( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析：由題意知n3，應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中nN證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·342k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由知，當(dāng)nN*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.例2、求證：分析：該命題意圖：本題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法和一般步驟。用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即則當(dāng)時(shí)， 所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立點(diǎn)評(píng)：本題在由到時(shí)的推證過程中， （1）一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由到時(shí)不等式左端項(xiàng)數(shù)的增減情況；（2）應(yīng)用了放縮技巧：例3、已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即則當(dāng)時(shí)， 所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立點(diǎn)評(píng)：本題在由到時(shí)的推證過程中， （1）不等式左端增加了項(xiàng)，而不是只增加了“”這一項(xiàng)，否則證題思路必然受阻；（2）應(yīng)用了放縮技巧：練習(xí)：1、證明不等式：分析1、數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟：設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P(n0)成立(奠基)2°假設(shè)P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即那么，這就是說，n=k+1時(shí)，不等式也成立根據(jù)（1）（2）可知不等式對(duì)nN+都成立 2.求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明：（1） 當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立；當(dāng)n=2時(shí)， ，不等式成立；當(dāng)n=3時(shí)， ，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即 則當(dāng)時(shí)，（*）從而，即當(dāng)時(shí)，不等式也成立由（1），（2）可知，對(duì)一切都成立點(diǎn)評(píng)： 因?yàn)樵冢?）處，當(dāng)時(shí)才成立，故起點(diǎn)只證n=1還不夠，因此我們需注意命題的遞推關(guān)系式中起點(diǎn)位置的推移3求證：，其中，且分析：此題是xx年廣東高考數(shù)學(xué)試卷第21題的適當(dāng)變形，有兩種證法證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)m=2時(shí)，不等式成立（2）假設(shè)時(shí)，有，則 ，即從而， 即時(shí)，亦有由（1）和（2）知，對(duì)都成立證法二：作差、放縮，然后利用二項(xiàng)展開式和放縮法證明當(dāng)，且時(shí)，例4、（xx年江西省高考理科數(shù)學(xué)第21題第（1）小題，本小題滿分12分）已知數(shù)列 證明求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.分析：近年來高考對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的考查，加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查。對(duì)數(shù)列進(jìn)行了考查，和數(shù)學(xué)歸納法一起，成為壓軸題。解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)， ，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有 則 而又時(shí)命題正確.由1°、2°知，對(duì)一切nN時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，； 2°假設(shè)n=k時(shí)有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以對(duì)一切（2）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：所以 則又bn=1，所以點(diǎn)評(píng)：本題問給出的兩種方法均是用數(shù)學(xué)歸納法證明，所不同的是：方法一采用了作差比較法；方法二利用了函數(shù)的單調(diào)性本題也可先求出第（2）問，即數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性，來證明第（1）問的不等式但若這樣做，則無形當(dāng)中加大了第（1）問的難度，顯然不如用數(shù)學(xué)歸納法證明來得簡(jiǎn)捷練習(xí)：1.試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n1,nN*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn2bn.分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查的知識(shí)包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟. 技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(akck)(ac)0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1ak·c+ck·a.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)(a+c)2，設(shè)n=k時(shí)成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)()k·()=()k+1根據(jù)、可知不等式對(duì)n1,nN*都成立 二.基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意nN,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )A.30B.26C.36D.6解析：f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)f(k)=(2k+9)·3k+1(2k+7)·3k=(6k+27)·3k(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所求最大的m值等于36.答案：C二、填空題2.觀察下列式子：則可歸納出_.解析：(nN*)(nN*)3.已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_，由此猜想an=_.、 三、解答題4.若n為大于1的自然數(shù)，求證：.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即所以：對(duì)于nN*，且n>1時(shí)，有5.已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a0且a1)記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.(1)解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2(2)證明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)(1+)與的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測(cè)：(1+1)(1+)(1+) (*)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立.假設(shè)n=k(k1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)則當(dāng)n=k+1時(shí)，,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立由知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a1時(shí)，Snlogabn+1,當(dāng) 0a1時(shí)，Snlogabn+16.設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|1,數(shù)列an滿足：a1=2,a20,an·an+1=qn,求an表達(dá)式，又如果S2n3,求q的取值范圍.解：a1·a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,an·an+1=qn,an+1·an+2=qn+1兩式相除，得,即an+2=q·an于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)綜合，猜想通項(xiàng)公式為an=下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立(2)設(shè)n=2k1時(shí)，a2k1=2·qk1則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=q·a2k1a2k+1=2·qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.設(shè)n=2k時(shí)，a2k=qk,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=q·a2k,所以a2k+2=qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立.這樣所求通項(xiàng)公式為an=S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) (q+q2+qn)由于|q|1,=依題意知3,并注意1q0,|q|1解得1q0或0q三.鞏固練習(xí)1. （06 年湖南卷. 理 .19本小題滿分14分）已知函數(shù),數(shù)列滿足:證明:();().證明: （I）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，1,2,3, (i).當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立. (ii).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即.因?yàn)?<x<1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在0,1上連續(xù),從而.故n=k+1時(shí),結(jié)論成立.由(i)、(ii)可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立.又因?yàn)闀r(shí)，所以，綜上所述（II）設(shè)函數(shù)，由（I）知，當(dāng)時(shí)，從而所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù). 又g (x)在0,1上連續(xù),且g (0)=0, 所以當(dāng)時(shí)，g (x)>0成立.于是故點(diǎn)評(píng)：不等式的問題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支交匯，綜合考查運(yùn)用不等式知識(shí)解決問題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊(yùn)藏的不等式結(jié)論的證明為重點(diǎn). 需要靈活運(yùn)用各分支的數(shù)學(xué)知識(shí).2. （ 05 年遼寧卷.19本小題滿分12分）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）證明分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力 （）證明：當(dāng) 因?yàn)閍1=1，所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 （1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=，不等式成立， （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即那么 所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意nN*都成立。 （）證明：由（）知， 所以 故對(duì)任意）3.（05 年湖北卷.理22.本小題滿分14分）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （）證明（）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.（）證法1：當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時(shí)有，證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時(shí)， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k3）時(shí)，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）則有故取N=1024，可使當(dāng)n>N時(shí)，都有