2022年高中信息技術(shù) 全國(guó)青少年奧林匹克聯(lián)賽教案 搜索法一

2022年高中信息技術(shù) 全國(guó)青少年奧林匹克聯(lián)賽教案 搜索法一在這里介紹兩種基本的搜索算法：深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索法，以樹(shù)的搜索為例，深度優(yōu)先搜索法是優(yōu)先擴(kuò)展尚未擴(kuò)展的且具有最大深度的結(jié)點(diǎn)；廣度優(yōu)先搜索法是在擴(kuò)展完第K層的結(jié)點(diǎn)以后才擴(kuò)展K+1層的結(jié)點(diǎn)。深度優(yōu)先搜索法與前面講的回溯法差不多，主要的區(qū)別是回溯法在求解過(guò)程中不保留完整的樹(shù)結(jié)構(gòu)，而深度優(yōu)先搜索則記下完整的搜索樹(shù)，搜索樹(shù)起記錄解路徑和狀態(tài)判重的作用。為了減少存儲(chǔ)空間，在深度優(yōu)先搜索中，用標(biāo)志的方法記錄訪問(wèn)過(guò)的狀態(tài)，這種處理方法使得深度優(yōu)先搜索法與回溯法沒(méi)什么區(qū)別了。在回溯法中，我們己分析了非遞歸的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，在這里就只討論深度優(yōu)先的遞歸實(shí)現(xiàn)方法。深度優(yōu)先搜索的遞歸實(shí)現(xiàn)過(guò)程：procedure dfs(i); for i:=1 to r do if 子結(jié)點(diǎn)mr符合條件then 產(chǎn)生的子結(jié)點(diǎn)mr入棧； if 子結(jié)點(diǎn) mr 是目標(biāo)結(jié)點(diǎn) then 輸出 else dfs(i+1);棧頂元素出棧（即刪去mr）;endif;endfor;在講解遞推法時(shí)，我們討論了用遞推法解騎土游歷問(wèn)題，在這里我們?cè)倏纯慈绾斡蒙疃葍?yōu)先搜索法求解此題。搜索算法應(yīng)用例1騎士游歷:設(shè)有一個(gè)n*m的棋盤(pán)，在棋盤(pán)上任一點(diǎn)有一個(gè)中國(guó)象棋馬,馬走的規(guī)則為:1.馬走日字 2.馬只能向右走。當(dāng)N,M 輸入之后,找出一條從左下角到右上角的路徑。例如:輸入 N=4,M=4，輸出:路徑的格式:(1,1)->(2,3)->(4,4)，若不存在路徑,則輸出"no"算法分析：我們以4×4的棋盤(pán)為例進(jìn)行分析，用樹(shù)形結(jié)構(gòu)表示馬走的所有過(guò)程（如下圖），求從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑,實(shí)際上就是從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始深度優(yōu)先搜索這棵樹(shù)。馬從（1，1）開(kāi)始，按深度優(yōu)先搜索法，走一步到達(dá)（2，3），判斷是否到達(dá)終點(diǎn)，若沒(méi)有，則繼續(xù)往前走，再走一步到達(dá)（4，4），然后判斷是否到達(dá)終點(diǎn)，若到達(dá)則退出，搜索過(guò)程結(jié)束。為了減少搜索次數(shù)，在馬走的過(guò)程中，判斷下一步所走的位置是否在棋盤(pán)上，如果不在棋盤(pán)上，則另選一條路徑再走。程序如下：const dx:array1.4of integer=(2,2,1,1); dy:array1.4of integer=(1,-1,2,-2);type map=record x,y:integer; end;var i,n,m:integer; a:array0.50of map;procedure dfs(i:integer);var j:integer;begin for j:=1 to 4 doif (ai-1.x+dxj>0)and(ai-1.x+dxj<=n) and(ai-1.y+dyj>0)and(ai-1.y+dyj<=n) then判斷是否在棋盤(pán)上 begin ai.x:=ai-1.x+dxj; ai.y:=ai-1.y+dyj;入棧 if (ai.x=n)and(ai.y=m)then begin write('(',1,',',1,')'); for j:=2 to i do write('->(',aj.x,',',aj.y,')'); halt;輸出結(jié)果并退出程序 end; dfs(i+1);搜索下一步 ai.x:=0;ai.y:=0;出棧 end;end;begin a1.x:=1;a1.y:=1; readln(n,m); dfs(2); writeln('no');end.從上面的例子我們可以看出，深度優(yōu)先搜索算法有兩個(gè)特點(diǎn)：1、 己產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)按深度排序，深度大的結(jié)點(diǎn)先得到擴(kuò)展，即先產(chǎn)生它的子結(jié)點(diǎn)。2、 深度大的結(jié)點(diǎn)是后產(chǎn)生的，但先得到擴(kuò)展，即“后產(chǎn)生先擴(kuò)展”，與棧的工作原理相同，因此用堆棧作為該算法的主要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，存儲(chǔ)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)。對(duì)于不同的問(wèn)題，深度優(yōu)先搜索算法基本上是一樣的，但在具體處理方法和編程技巧上又都不相同，甚至?xí)泻艽蟮牟顒e。我們?cè)倏纯戳硪粋€(gè)例子。題二 選數(shù)（存盤(pán)名：NOIPxxpj）問(wèn)題描述:已知 n 個(gè)整數(shù) x1,x2,xn，以及一個(gè)整數(shù) k(kn)。從n 個(gè)整數(shù)中任選 k 個(gè)整數(shù)相加，可分別得到一系列的和。例如當(dāng) n=4，k3，4 個(gè)整數(shù)分別為 3，7，12，19 時(shí)，可得全部的組合與它們的和為：3712=2237192971219383121934?，F(xiàn)在，要求你計(jì)算出和為素?cái)?shù)共有多少種。例如上例，只有一種的和為素?cái)?shù)：371929。 輸入：鍵盤(pán)輸入，格式為：n , k (1<=n<=20，kn)x1,x2，,xn （1<=xi<=5000000）輸出：屏幕輸出，格式為：一個(gè)整數(shù)（滿足條件的種數(shù)）。 輸入輸出樣例:輸入：4 3 3 7 12 19輸出：1算法分析：本題是求從n個(gè)數(shù)中選k個(gè)數(shù)的組合，并使其和為素?cái)?shù)。求解此題時(shí)，先用深度優(yōu)先搜索法生成k個(gè)數(shù)的組合，再判斷k個(gè)數(shù)的和是否為素?cái)?shù)，若為素?cái)?shù)則總數(shù)加1。在程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程中，用數(shù)組a存放輸入的n個(gè)數(shù)，用s表示k個(gè)數(shù)的和，ans表示和為素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。為了避免不必要的搜索，程序?qū)λ阉鬟^(guò)程進(jìn)行了優(yōu)化，限制搜索范圍，在搜索過(guò)程dfs(i,m)中，參數(shù)m為第i個(gè)數(shù)的上限，下限為n-k+i。源程序：var n,k,i: byte; ans,s:longint; a: array1 . 20 of Longint;procedure prime(s:longint);判斷K個(gè)數(shù)的和是否為素?cái)?shù)var i:integer;begin i:=2; while (sqr(i)<=s)and(s mod i<>0) do inc(i); if sqr(i)>s then inc(ans)若為素?cái)?shù)則總數(shù)加1end;procedure dfs(i,m:byte);搜索第i個(gè)數(shù)， var j:byte;j表示第i個(gè)數(shù)的位置begin for j:=m to n-k+i do枚舉第i個(gè)數(shù) begin inc(s,aj);入棧 if i=k then prime(s) else dfs(i+1,j+1);繼續(xù)搜第i+1個(gè)數(shù) dec(s,aj)出棧 endend;begin readln(n,k); for i:=1 to n do read(ai); ans:=0; s:=0; dfs(1,1); writeln(ans);end.從上面的兩個(gè)例子我們可以看出，用遞歸實(shí)現(xiàn)深度優(yōu)先搜索比非遞歸更加方便。在使用深度搜索法解題時(shí)，搜索的效率并不高，所以要重視對(duì)算法的優(yōu)化，盡可能的減少搜索范圍，提高程序的速度。在下一篇中將繼續(xù)介紹另一種搜索方法廣度優(yōu)先搜索法。