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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第69課時(shí) 二項(xiàng)式定理教案
教學(xué)目標(biāo)：正確理解二項(xiàng)式定理，能準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式會(huì)區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 掌握二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算及證明整除性中的應(yīng)用.
熟練掌握二項(xiàng)式定理的基本問題――通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.
教學(xué)重點(diǎn)：利用二項(xiàng)式展開式可以證明整除性問題，討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計(jì)算， 代數(shù)式求值，放縮法證明不等式.
（一） 主要知識及主要方法：
二項(xiàng)式定理及其特例：
，
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：
常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：
求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性
2、.
二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）
對稱性．
與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（）．直線是圖象的對稱軸.
增減性與最大值：
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值.
各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵，
令，則
在使用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意：
通項(xiàng)公式是表示第項(xiàng)，而不是第項(xiàng).展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第項(xiàng)的系數(shù)不同.通項(xiàng)公式中含有五
3、個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素.在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意是正整數(shù)，是非負(fù)整數(shù)且≤. 證明組合恒等式常用賦值法.要正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式.要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù). 二項(xiàng)式展開式系數(shù)可用通項(xiàng)公式及組合知識.
用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似運(yùn)算，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厣崛〔挥绊懢鹊捻?xiàng)，一般地：當(dāng)
很小時(shí)，有.
（二）典例分析：
問題1．（全國Ⅱ）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）.
求展開式中的
4、系數(shù)（要求用兩種方法解答）.
求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)
求展開所得的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)
問題2．已知，
則
（安徽文）已知，
則的值等于 ．
（浙江）若多項(xiàng)式，則
（天津）設(shè)，則
問題3．求的近似值（精確到）
已知能被整除，則最小值
5、
問題4．求證：≤（）；你能把不等式中的上限變得更小些嗎？
（三）課后作業(yè)：
展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是
展開式中的系數(shù)是
的展開式中的系數(shù)是
今天是星期日，不算今天，再過天后的第一天是星期幾？
（）被除后的余數(shù)是
設(shè) ，則的反函數(shù)
設(shè)，則
的值為
6、
若則
（屆西工大附中模擬文）設(shè)為滿足的最大自然數(shù),
則_____
（四）走向高考：
(湖北) 的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為
（全國Ⅱ）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是
（江西）已知展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則等于
（陜西文）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）
（四川）設(shè)函數(shù)，且
當(dāng)時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
對任意的實(shí)數(shù)，證明＞是的導(dǎo)函數(shù)）
是否存在，使得＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，請說明理由.
（陜西）已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）對任意給定的正整數(shù)（≥），數(shù)列滿足（），，求．
論并求出的值;若不存在,請說明理由.
2022年高三數(shù)學(xué) 第69課時(shí) 二項(xiàng)式定理教案
