2022年高中信息技術(shù) 全國(guó)青少年奧林匹克聯(lián)賽教案 遞歸算法
2022年高中信息技術(shù) 全國(guó)青少年奧林匹克聯(lián)賽教案 遞歸算法遞歸算法的定義:如果一個(gè)對(duì)象的描述中包含它本身,我們就稱這個(gè)對(duì)象是遞歸的,這種用遞歸來描述的算法稱為遞歸算法。我們先來看看大家熟知的一個(gè)的故事:從前有座山,山上有座廟,廟里有個(gè)老和尚在給小和尚講故事,他說從前有座山,山上有座廟,廟里有個(gè)老和尚在給小和尚講故事,他說上面的故事本身是遞歸的,用遞歸算法描述:procedure bonze-tell-story;begin if 講話被打斷 then 故事結(jié)束 else begin從前有座山,山上有座廟,廟里有個(gè)老和尚在給小和尚講故事;bonze-tell-story;endend;從上面的遞歸事例不難看出,遞歸算法存在的兩個(gè)必要條件:(1) 必須有遞歸的終止條件;(2) 過程的描述中包含它本身;在設(shè)計(jì)遞歸算法中,如何將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為遞歸的問題,是初學(xué)者面臨的難題,下面我們通過分析漢諾塔問題,看看如何用遞歸算法來求解問題;遞歸算法應(yīng)用例1:漢諾塔問題,如下圖,有A、B、C三根柱子。A柱子上按從小到大的順序堆放了N個(gè)盤子,現(xiàn)在要把全部盤子從A柱移動(dòng)到C柱,移動(dòng)過程中可以借助B柱。移動(dòng)時(shí)有如下要求:(1) 一次只能移動(dòng)一個(gè)盤子;(2) 不允許把大盤放在小盤上邊;(3) 盤子只能放在三根柱子上;算法分析:當(dāng)盤子比較多的時(shí),問題比較復(fù)雜,所以我們先分析簡(jiǎn)單的情況:如果只有一個(gè)盤子,只需一步,直接把它從A柱移動(dòng)到C柱;如果是二個(gè)盤子,共需要移動(dòng)3步:(1) 把A柱上的小盤子移動(dòng)到B柱;(2) 把A柱上的大盤子移動(dòng)到C柱;(3) 把B柱上的大盤子移動(dòng)到C柱;如果N比較大時(shí),需要很多步才能完成,我們先考慮是否能把復(fù)雜的移動(dòng)過程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的移動(dòng)過程,如果要把A柱上最大的盤子移動(dòng)到C柱上去,必須先把上面的N-1個(gè)盤子從A柱移動(dòng)到B柱上暫存,按這種思路,就可以把N個(gè)盤子的移動(dòng)過程分作3大步:(1) 把A柱上面的N-1個(gè)盤子移動(dòng)到B柱;(2) 把A柱上剩下的一個(gè)盤子移動(dòng)到C柱;(3) 把B柱上面的N-1個(gè)盤子移動(dòng)到C柱;其中N-1個(gè)盤子的移動(dòng)過程又可按同樣的方法分為三大步,這樣就把移動(dòng)過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞歸的過程,直到最后只剩下一個(gè)盤子,按照移動(dòng)一個(gè)盤子的方法移動(dòng),遞歸結(jié)束。遞歸過程:procedure Hanoi(N,A,B,C:integer;);以B柱為中轉(zhuǎn)柱將N個(gè)盤子從A柱移動(dòng)到C柱begin if N=1 then write(A,->,C)把盤子直接從A移動(dòng)到Celse begin Hanoi(N-1,A,C,B); 以C柱為中轉(zhuǎn)柱將N-1個(gè)盤子從A柱移動(dòng)到B柱 write(A,->,C);把剩下的一個(gè)盤子從A移動(dòng)到C Hanoi(N-1,B,A,C); 以A柱為中轉(zhuǎn)柱將N-1個(gè)盤子從B柱移動(dòng)到C柱end;end;從上面的例子我們可以看出,在使用遞歸算法時(shí),首先弄清楚簡(jiǎn)單情況下的解法,然后弄清楚如何把復(fù)雜情況歸納為更簡(jiǎn)單的情況。在信息學(xué)奧賽中有的問題的結(jié)構(gòu)或所處理的數(shù)據(jù)本身是遞歸定義的,這樣的問題非常適合用遞歸算法來求解,對(duì)于這類問題,我們把它分解為具有相同性質(zhì)的若干個(gè)子問題,如果子問題解決了,原問題也就解決了。例2求先序排列 (NOIPxxpj)問題描述給出一棵二叉樹的中序與后序排列。求出它的先序排列。(約定樹結(jié)點(diǎn)用不同的大寫字母表示,長(zhǎng)度8)。樣例 輸入:BADC BDCA 輸出:ABCD算法分析:我們先看看三種遍歷的定義:先序遍歷是先訪問根結(jié)點(diǎn),再遍歷左子樹,最后遍歷右子樹;中序遍歷是先遍歷左子樹,再訪問根結(jié)點(diǎn),最后遍歷右子樹;后序遍歷是先遍歷左子樹,再遍歷右子樹,最后訪問根結(jié)點(diǎn);從遍歷的定義可知,后序排列的最后一個(gè)字符即為這棵樹的根節(jié)點(diǎn);在中序排列中,根結(jié)點(diǎn)前面的為其左子樹,根結(jié)點(diǎn)后面的為其右子樹;我們可以由后序排列求得根結(jié)點(diǎn),再由根結(jié)點(diǎn)在中序排列的位置確定左子樹和右子樹,把左子樹和右子樹各看作一個(gè)單獨(dú)的樹。這樣,就把一棵樹分解為具有相同性質(zhì)的二棵子樹,一直遞歸下去,當(dāng)分解的子樹為空時(shí),遞歸結(jié)束,在遞歸過程中,按先序遍歷的規(guī)則輸出求得的各個(gè)根結(jié)點(diǎn),輸出的結(jié)果即為原問題的解。源程序program noipxx_3; varz,h : string; procedure make(z,h:string); z為中序排列,h為后序排列vars,m : integer; begin m:=length(h);m為樹的長(zhǎng)度write(hm); 輸出根節(jié)點(diǎn)s:=pos(hm,z); 求根節(jié)點(diǎn)在中序排列中的位置if s>1 then make(copy(z,1,s-1),copy(h,1,s-1); 處理左子樹if m>s then make(copy(z,s+1,m-s),copy(h,s,m-s); 處理右子樹end; begin readln(z); readln(h); make(z,h); end.遞歸算法不僅僅是用于求解遞歸描述的問題,在其它很多問題中也可以用到遞歸思想,如回溯法、分治法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等算法中都可以使用遞歸思想來實(shí)現(xiàn),從而使編寫的程序更加簡(jiǎn)潔。比如上期回溯法所講的例2數(shù)的劃分問題,若用遞歸來求解,程序非常短小且效率很高,源程序如下var n,k:integer; tol:longint;procedure make(sum,t,d:integer);var i:integer;begin if d=k then inc(tol) else for i:=t to sum div 2 do make(sum-i,i,d+1);end;begin readln(n,k);tol:=0; make(n,1,1); writeln(tol);end.有些問題本身是遞歸定義的,但它并不適合用遞歸算法來求解,如斐波那契(Fibonacci)數(shù)列,它的遞歸定義為:F(n)=1 (n=1,2)F(n)=F(n-2)+F(n-1) (n>2)用遞歸過程描述為:Funtion fb(n:integer):integer;Begin if n<3 then fb:=1 else fb:=fb(n-1)+fb(n-2);End;上面的遞歸過程,調(diào)用一次產(chǎn)生二個(gè)新的調(diào)用,遞歸次數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng),時(shí)間復(fù)雜度為O(2n),把它改為非遞歸:x:=1;y:=1;for i:=3 to n dobegin z:=y;y:=x+y;x:=z;end;修改后的程序,它的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。我們?cè)诰帉懗绦驎r(shí)是否使用遞歸算法,關(guān)鍵是看問題是否適合用遞歸算法來求解。由于遞歸算法編寫的程序邏輯性強(qiáng),結(jié)構(gòu)清晰,正確性易于證明,程序調(diào)試也十分方便,在NOIP中,數(shù)據(jù)的規(guī)模一般也不大,只要問題適合用遞歸算法求解,我們還是可以大膽地使用遞歸算法。