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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第78課時 函數(shù)的極限和連續(xù)性教案
教學(xué)目標： 了解函數(shù)極限的概念；掌握極限的四則運算法則；會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限；了解函數(shù)連續(xù)的意義；理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)
（一） 主要知識及主要方法：
函數(shù)極限的定義:
當自變量取正值并且無限增大時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是，記作：，或者當時， ；當自變量取負值并且絕對值無限增大時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當趨向于負無窮大時，函數(shù)的極限是.
記作或者當當時，
如果且，那么就說當趨向于無窮大時，函數(shù)的極限是，記作：或者當時， .
常數(shù)函數(shù): ()，
2、有.
存在，表示和都存在，且兩者相等所以中的既有，又有的意義，而數(shù)列極限中的僅有的意義.
趨向于定值的函數(shù)極限概念：當自變量無限趨近于（）時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當趨向時，函數(shù)的極限是，記作.特別地，；.
.
其中表示當從左側(cè)趨近于時的左極限，
表示當從右側(cè)趨近于時的右極限.
對于函數(shù)極限有如下的運算法則：
如果，,那么,
, .
當是常數(shù)，是正整數(shù)時:,
這些法則對于的情況仍然適用.
函數(shù)在一點連續(xù)的定義: 如果函數(shù)在點處有定義，存在，
且，那么函數(shù)在點處連續(xù).
函數(shù)在內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù)在某一開區(qū)間內(nèi)每一點處連續(xù)，就說函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或是開區(qū)
3、間內(nèi)的連續(xù)函數(shù).
函數(shù)在上連續(xù)的定義：如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在左端點處有，在右端點處有就說函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),或是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).
最大值：是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意，≥，那么在點處有最大值.
最小值：是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意，≤，那么在點處有最小值.
最大值最小值定理
如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，那么在閉區(qū)間上有最大值和最小值.
極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項系數(shù)；
指數(shù)型(和型），通過變形使得各式有極限；
根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；
根的存在定理：若①函數(shù)在上連續(xù)，②，則方程至少有一根在區(qū)間內(nèi)；若①函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)
4、，②，則方程有且只有一根在區(qū)間內(nèi).
（二）典例分析：
問題1．求下列函數(shù)的極限：
；；；
； ；();
（廣東） （陜西）
問題2．若，求、的值.
設(shè)，若，求常數(shù)、的值.
（重慶）設(shè)正數(shù)滿足，則
問題3．討論下列函數(shù)在給定點處的連續(xù)性.
，點；，點；
試討論函數(shù)，點
問題4．已知 ，在區(qū)間上連續(xù)，求
（屆高三四川眉山市一診）已知函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，則實數(shù)
5、
問題5．已知函數(shù)，當時，求的最大值和
最小值；解方程；求出該函數(shù)的值域.
問題6．證明：方程至少有一個小于的正根.
（三）課后作業(yè)：
已知，求的值.
若（、為常數(shù)），則 ；
已知（），那么給一個定義，使在處
連續(xù)，則應(yīng)是
（濟南一模）設(shè)是一個一元三次函數(shù)且，，
則
設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則
（四）走向高考：
（江西
6、）若，則
（湖北）若，則常數(shù)的值為
（天津）設(shè)，，，則
（四川）
（江西） 等于 等于 等于 不存在
（天津）設(shè)等差數(shù)列的公差是，前項的和為，則
（全國Ⅱ）已知數(shù)列的通項，其前項和為，則
（湖南）下列四個命題中，不正確的是
若函數(shù)在處連續(xù)，則
函數(shù)的不連續(xù)點是和
若函數(shù)，滿足，則
y
x
7、O
（安徽）如圖，拋物線與軸的正半軸交于
點，將線段的等分點從左至右依次記為，…，
，過這些分點分別作軸的垂線，與拋物線的交點依次為
，…，，從而得到個直角三角形
．當時，這些三角形
的面積之和的極限為
（江西）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，
且．求實數(shù)和的值；解不等式．
（廣東）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù).
當為何值時，≥；定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得.
試用上述定理證明：當整數(shù)時，方程在內(nèi)有兩個實根.
2022年高三數(shù)學(xué) 第78課時 函數(shù)的極限和連續(xù)性教案
