2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 蘇教版選修2-2

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1、第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明和自然數(shù)有關(guān)的命題。三、考點(diǎn)分析：數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想是比較常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，因此要重視。數(shù)學(xué)歸納法在考試中時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，且較隱蔽，因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視。只要與自然數(shù)有關(guān)，都可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)然主要是恒等式、等式、不等式、整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題、三角問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題等聯(lián)系得更多一些。一、數(shù)學(xué)歸納法的定義：由歸納法得到的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的證明方法：（1）先證明當(dāng)nn0（n0是使命題成立的最小自然數(shù)）時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)nk（kN*， kn0）時(shí)命題成立

2、，再證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，那么就證明這個(gè)命題成立，這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：（1）證恒等式；（2）整除性的證明；（3）探求平面幾何中的問(wèn)題；（4）探求數(shù)列的通項(xiàng)；（5）不等式的證明。特別提示（1）用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可;（2）證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)。例1 已知，則的值為（ ）A. B. C. - D. -思路分析：是從n1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，故是從n2開(kāi)始的n1個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，即- 故選D。解題后反思：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)遞推的過(guò)程，（1）是遞推的基礎(chǔ)，（2）是遞推的條件；二者缺一不可。例2 用數(shù)學(xué)歸納法證

3、明等。思路分析：和自然數(shù)有關(guān)的命題的證明可以選用數(shù)學(xué)歸納法。證明：（1）當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即 則，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立解題后反思：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；（2）證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)。例3 在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，an,Sn,Sn成等比數(shù)列。（1）求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。思路分析：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法，可以依托等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，采用的方法是歸納、猜想、證明。求通項(xiàng)可先證明是以為首項(xiàng)，為公差的等差

4、數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式 解題過(guò)程：an,Sn,Sn成等比數(shù)列，Sn2an（Sn）（n2） （*）（1）由a11,S2a1a21a2,代入（*）式得a2由a11，a2,S3a3代入（*）式得a3同理可得a4,由此可推出an（2）當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，由（*）知猜想成立假設(shè)nk（k2）時(shí)，ak成立故Sk2（Sk）（2k3）（2k1）Sk22Sk10Sk（舍）由Sk12ak1（Sk1）,得（Skak1）2ak1（ak1Sk）由知，an對(duì)一切nN*成立 解題后反思：（2）中，Sk應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視。例4 是否存在常數(shù)a、b、c使等式1（n212）2（n222）n（n2n2）an4bn2c對(duì)一

5、切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論。思路分析：先取n1，2，3探求a、b、c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切nN*，a、b、c所確定的等式都成立。解題過(guò)程：分別用n1，2，3代入解方程組下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。（1）當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立;（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1（k1）2122（k1）222k（k1）2k2（k1）（k1）2（k1）21（k212）2（k222）k（k2k2）1（2k1）2（2k1）k（2k1）k4（）k2（2k1）2（2k1）k（2k1）（k1）4（k1）2。當(dāng)nk1時(shí)，等式成立。由（1）（2）得等式對(duì)一切的均成立。解題后反思：本題是探索性命題，它通過(guò)

6、觀察歸納猜想證明這一完整的思路過(guò)程去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力。（全國(guó)高考）已知數(shù)列中，。（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使不等式成立的的取值范圍。思路分析：（1）將代入到中整理，并替換，得到關(guān)系式，進(jìn)而可得到是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，先得到的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）先求出時(shí)的的取值范圍，然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明，當(dāng)時(shí)，然后當(dāng)時(shí)，令，由，可發(fā)現(xiàn)時(shí)不能滿足條件，進(jìn)而可確定的取值范圍。解題過(guò)程：（1），即。，又a11,故，所以是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，。（2）,由a2a1得c2。用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c2時(shí)，an2時(shí)，an2時(shí)

7、，令，由得an。當(dāng)2c時(shí)，an時(shí)，3，且1an,于是,。當(dāng)nlog3時(shí)，an13。因此不符合要求。所以c的取值范圍是。解題后反思：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推數(shù)列、不等式等知識(shí)，在解題過(guò)程中滲透了函數(shù)與方程、歸納與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題，考查學(xué)生分析、歸納、探究和推理論證問(wèn)題的能力。用數(shù)學(xué)歸納法證明：錯(cuò)解：（1）當(dāng)n1時(shí)，左右，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立點(diǎn)撥：錯(cuò)誤原因在于只有數(shù)學(xué)歸納法的形式，沒(méi)有數(shù)學(xué)歸納法的“實(shí)質(zhì)”。正解：（1）當(dāng)n1時(shí)，左右，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即那么當(dāng)nk1時(shí)， 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與

8、自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n1（或n0）時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在nk時(shí)命題成立，再證明nk1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或nn0且）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)nk1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較

9、，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)、完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題應(yīng)注意：（1）第一步驗(yàn)證nn0時(shí)，n0并不一定是1。（2）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由k到k1時(shí)命題的變化。（3）由假設(shè)nk時(shí)命題成立，證nk1時(shí)命題也成立，要充分利用歸納假設(shè)，要恰當(dāng)?shù)亍皽悺背瞿繕?biāo)。歸納、猜想、論證是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、歸納能力以及推理論證能力的方式之一。 下節(jié)課我們開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入，請(qǐng)大家閱讀課本思考：1. 為什么要進(jìn)行數(shù)系的擴(kuò)充？2. 數(shù)系擴(kuò)充的原則是什么？3. 復(fù)數(shù)能滿足哪些運(yùn)算？6