《2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 蘇教版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 蘇教版選修2-2（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明和自然數(shù)有關(guān)的命題。
三、考點(diǎn)分析：
數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想是比較常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，因此要重視。數(shù)學(xué)歸納法在考試中時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，且較隱蔽，因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視。只要與自然數(shù)有關(guān)，都可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)然主要是恒等式、等式、不等式、整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題、三角問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題等聯(lián)系得更多一些。
一、數(shù)學(xué)歸納法的定義：
由歸納法得到的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的證明方法：
（1）先證明當(dāng)n＝n0（n0是使命題成立的最小自
2、然數(shù)）時(shí)命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*， k≥n0）時(shí)命題成立，再證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，那么就證明這個(gè)命題成立，這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。
二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：
（1）證恒等式；
（2）整除性的證明；
（3）探求平面幾何中的問(wèn)題；
（4）探求數(shù)列的通項(xiàng)；
（5）不等式的證明。
特別提示
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可;
（2）證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)。
例1 已知，則的值為（ ）
A. ＋ B. ＋＋
C. - D. ＋-
思路分析：是從n＋1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)
3、的倒數(shù)和，故是從n＋2開(kāi)始的n＋1個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，即
＝
＝＝＋＋-
＝＋- 故選D。
解題后反思：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)遞推的過(guò)程，（1）是遞推的基礎(chǔ)，（2）是遞推的條件；二者缺一不可。
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明等。
思路分析：和自然數(shù)有關(guān)的命題的證明可以選用數(shù)學(xué)歸納法。
證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝右邊，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即
則，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，
綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立
解題后反思：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；（2）證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)
4、。
例3 在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列。
（1）求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。
思路分析：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法，可以依托等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，采用的方法是歸納、猜想、證明。
求通項(xiàng)可先證明{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式
解題過(guò)程：∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，
∴Sn2＝an·（Sn－）（n≥2） （*）
（1）由a1＝1,S2＝a1＋a2＝1＋a2,代入（*）式得a2＝－
由a1＝1，a2＝－
5、,S3＝＋a3代入（*）式得a3＝－
同理可得a4＝－,由此可推出an＝
（2）①當(dāng)n＝1,2,3,4時(shí)，由（*）知猜想成立
②假設(shè)n＝k（k≥2）時(shí)，ak＝－成立
故Sk2＝－·（Sk－）
∴（2k－3）（2k－1）Sk2＋2Sk－1＝0
∴Sk＝（舍）
由Sk＋12＝ak＋1·（Sk＋1－）,得（Sk＋ak＋1）2＝ak＋1（ak＋1＋Sk－）
由①②知，an＝對(duì)一切n∈N*成立
解題后反思：（2）中，Sk＝－應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視。
例4 是否存在常數(shù)a、b、c使等式1·（n2－12）＋2（n2－22）＋…＋n（n2－n2）＝an4＋bn2＋c對(duì)一
6、切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論。
思路分析：先取n＝1，2，3探求a、b、c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切n∈N*，a、b、c所確定的等式都成立。
解題過(guò)程：分別用n＝1，2，3代入解方程組
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，由上可知等式成立;
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1·［（k＋1）2－12］＋2［（k＋1）2－22］＋…＋k［（k＋1）2－k2］＋（k＋1）［（k＋1）2－（k＋1）2］
＝1·（k2－12）＋2（k2－22）＋…＋k（k2－k2）＋1·（2k＋1）＋2（2k＋1）＋…＋k（2k＋1）
＝k4＋（－）k2＋（
7、2k＋1）＋2（2k＋1）＋…＋k（2k＋1）
＝（k＋1）4－（k＋1）2。
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立。
由（1）（2）得等式對(duì)一切的均成立。
解題后反思：本題是探索性命題，它通過(guò)觀察——?dú)w納——猜想——證明這一完整的思路過(guò)程去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力。
（全國(guó)高考）已知數(shù)列中，。
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使不等式成立的的取值范圍。
思路分析：（1）將代入到中整理，并替換，得到關(guān)系式，進(jìn)而可得到{}是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，先得到的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（2）先求出時(shí)的的取值范圍，然后用數(shù)學(xué)
8、歸納法分3步進(jìn)行證明，當(dāng)時(shí)，然后當(dāng)時(shí)，令，由，可發(fā)現(xiàn)時(shí)不能滿足條件，進(jìn)而可確定的取值范圍。
解題過(guò)程：（1），
，即。
，又a1＝1,故，
所以是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，
。
（2）,由a2>a1得c>2。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c>2時(shí)，an2時(shí)，an2時(shí)，令，由得an<。
當(dāng)2時(shí)，>3，且1≤an<,于是
≤,
≤。
當(dāng)n3。
9、因此不符合要求。
所以c的取值范圍是。
解題后反思：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推數(shù)列、不等式等知識(shí)，在解題過(guò)程中滲透了函數(shù)與方程、歸納與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題，考查學(xué)生分析、歸納、探究和推理論證問(wèn)題的能力。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
錯(cuò)解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左＝右＝，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立
點(diǎn)撥：錯(cuò)誤原因在于只有數(shù)學(xué)歸納法的形式，沒(méi)有數(shù)學(xué)歸納法的“實(shí)質(zhì)”。
正解：
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左＝右＝，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
數(shù)學(xué)歸
10、納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1（或n0）時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或n≥n0且）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，
11、注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)、完成解題。
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。
用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題應(yīng)注意：
（1）第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0并不一定是1。
（2）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由k到k＋1時(shí)命題的變化。
（3）由假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，證n＝k＋1時(shí)命題也成立，要充分利用歸納假設(shè)，要恰當(dāng)?shù)亍皽悺背瞿繕?biāo)。
歸納、猜想、論證是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、歸納能力以及推理論證能力的方式之一。
下節(jié)課我們開(kāi)始學(xué)習(xí)——數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入，請(qǐng)大家閱讀課本思考：
1. 為什么要進(jìn)行數(shù)系的擴(kuò)充？
2. 數(shù)系擴(kuò)充的原則是什么？
3. 復(fù)數(shù)能滿足哪些運(yùn)算？
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2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 蘇教版選修2-2
