2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 離散型隨機變量及其分布列教學案 理（含解析）北師大版

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1、第四節(jié)　離散型隨機變量及其分布列 [考綱傳真]　1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用． 1．離散型隨機變量的分布列 (1)將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應于一個數(shù)，這種對應稱為一個隨機變量． (2)離散型隨機變量：隨機變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量． (3)設離散型隨機變量X的取值為a1，a2，…隨機變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)， 或把上式列表： X＝ai a1 a

2、2 … P(X＝ai) p1 p2 … 稱為離散型隨機變量X的分布列． (4)性質(zhì)： ①pi＞0，i＝1,2，…； ②p1＋p2＋…＝1. 2．超幾何分布 一般地，設有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么 P(X＝k)＝(其中k為非負整數(shù))． 如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)離散型隨機變量的分布列中，各個概率之和可以小于1. (　　) (2)離散型隨機變量的

3、各個可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點分布． (　　) X 2 5 P 0.3 0.7 (4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．投擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為X，那么X＝4表示的事件是(　　) A．一顆是3點，一顆是1點 B．兩顆都是2點 C．甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點 D．以上答案都不對 C　[甲是3點，乙是1點與甲是1點，乙是3點是試驗的兩個不同結(jié)果，故選C.] 3．設隨

4、機變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p為(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D． C　[由分布列的性質(zhì)知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.] 4．設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 10　[由于隨機變量X等可能取1,2,3，…，n， ∴取到每個數(shù)的概率均為， ∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.] 5．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件，則取到次品數(shù)X的分布列為________． P(X＝k)＝，k＝0,

5、1,2,3　[由題意知，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.] 離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) 1．隨機變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________. 　[由題意知 所以2b＋b＝1，則b＝，因此a＋c＝. 所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.] 2．設隨機變量X的分布列為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P； (3)求P. [解]　(1)由分布列的性質(zhì)，得P＋P＋P

6、＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 所以a＝. (2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝. [規(guī)律方法]　(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)． (2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式． 求離散型隨機變量的分布列 【例1】　已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結(jié)束． (1)求第一次檢

7、測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列． [解]　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) ＝1－－＝＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P [規(guī)律方法]　求離散型隨機變量分布列的步驟 (1)找出隨機變量X的所有可能取

8、值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確． 提醒：求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所有取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識． 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列． [解]　(1)由

9、題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張，故所求概率為P＝1－＝1－＝. (2)由題意知，X的可能取值為1,2,3,4，且 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 超幾何分布 【例2】　PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標． 從某自然

10、保護區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示 ： PM2.5日均 值(微克/ 立方米) [25， 35) [35， 45) [45， 55) [55， 65) [65， 75) [75， 85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列． [解]　(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天

11、空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依據(jù)條件知，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法]　求超幾何分布的分布列的步驟 某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問．求： (1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率； (2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列． [解]　(1)設事件A：選派的3人中恰有2人會法語，則P(A)＝＝. (2)依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P - 7 -