2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 理 北師大版

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1、 第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　(教師用書(shū)獨(dú)具)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第141頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線．點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到

2、準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱(chēng)軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心 率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ [知識(shí)拓展]　已知y2＝2px，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，l的傾斜角為θ，如圖8-6-1，則 圖8-6-1 (1)|AB|＝x1＋x2＋p＝； (2)x1

3、x2＝，y1y2＝－p2； (3)＋＝； (4)S△AOB＝； (5)|CD|＝2p，即通徑，通徑是過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦中最短的弦． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝

4、－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．y＝－1　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.] 3．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A．　 B． C． D．0 B　[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 4．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線方程是________． x2＝－8y　[

5、設(shè)拋物線的方程為x2＝my，將點(diǎn)P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8，所以拋物線方程是x2＝－8y.] 5．(2016·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為x＋1，由拋物線的定義知x＋1＝10，∴x＝9， ∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第142頁(yè)) 拋物線的定義及應(yīng)用 　(1)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4 ，則|QF|＝(　　) A．　　　 B． C．3 D．2

6、(2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. (1)C　(2)6　[(1)∵＝4 ， ∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過(guò)Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|＝4， ∴＝＝， ∴|QQ′|＝3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|＝3. (2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，P

7、M∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] [規(guī)律方法]　應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2017·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|＋|PN|的最小值為(　　)

8、A．3 B．4 C．5 D．＋1 (2)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140289】 (1)A　(2)y2＝4x　[(1)由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合． 過(guò)圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. (2)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x.]

9、 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 　(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (1)D　(2)B　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y

10、或x2＝－36y. (2)設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可. (2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量. 2.研究拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程，必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，正確的求出p. [跟蹤訓(xùn)練

11、]　(1)(2017·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)若拋物線y2＝2x上一點(diǎn)M到它的焦點(diǎn)F的距離為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MFO的面積為(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)B　[(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由拋物線定義知x＋＝2p， 所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以××p＝4，解

12、得p＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由題意知， 拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－. 設(shè)M(a，b)，由拋物線的定義可知， 點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為， 所以a＝1， 代入拋物線方程y2＝2x， 解得b＝±， 所以S△MFO＝××＝.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 ◎角度1　直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題 　(2016·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由． [解

13、]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 故N， 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點(diǎn)，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn)． ◎角度2　與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 　(2017·北京高考)已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P

14、(1,1)．過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)． (1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)． [解]　(1)由拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1,1)，得p＝. 所以拋物線C的方程為y2＝x. 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. (2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方

15、程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)． 直線ON的方程為y＝x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)閥1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1， 故A為線段BM的中點(diǎn)． [規(guī)律方法]　解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的三種常用方法 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式. (3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法. 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直

16、線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. [跟蹤訓(xùn)練]　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140290】 [解]　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 9