2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 推理與證明 4 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 北師大版選修2-2

§4數(shù)學(xué)歸納法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟(重點(diǎn))2體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))1通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法步驟的理解，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).2通過應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法它的基本步驟是：(1)驗(yàn)證：當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n01或2等)時(shí)，命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)nk(nN，kn0)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)nk1時(shí)，命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開始的正整數(shù)n都成立2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法注意的問題(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可(3)步驟(2)的證明必須以“假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN)時(shí)命題成立”為條件1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN)時(shí)，第一步驗(yàn)證n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1B12C123 D1234D當(dāng)n1時(shí)，左邊應(yīng)為1234，故選D.2一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)nk2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于()A一切正整數(shù)命題成立B一切正奇數(shù)命題成立C一切正偶數(shù)命題成立 D以上都不對(duì)B本題證的是對(duì)n1,3,5,7時(shí)命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“>(nN，n2)”的過程中，由nk(kN，k2)推導(dǎo)到nk1時(shí)，不等式左邊增加的式子是_當(dāng)nk時(shí)，左邊，當(dāng)nk1時(shí)，左邊，故左邊增加的式子是.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1.思路探究：證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1右邊nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1驗(yàn)證是基礎(chǔ)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是12遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k1”的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng)3利用假設(shè)是核心在第二步證明nk1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“nk時(shí)命題成立”作為條件來導(dǎo)出“nk1”，在書寫f(k1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，成立，當(dāng)nk1時(shí)，所以nk1時(shí)，等式成立，綜上可得，等式對(duì)于任意nN都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>(n2，nN)的過程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_(2)證明：不等式1<2(nN)思路探究：(1)寫出當(dāng)nk時(shí)左邊的式子，和當(dāng)nk1時(shí)左邊的式子，比較即可(2)在由nk到nk1推導(dǎo)過程中利用放縮法，在利用放縮時(shí)，注意放縮的度(1)當(dāng)nk1時(shí)左邊的代數(shù)式是，增加了兩項(xiàng)與，但是少了一項(xiàng)，故不等式的左邊增加的式子是.(2)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，左邊<右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN)時(shí)，不等式成立，即1<2.則當(dāng)nk1時(shí)，1<2<2.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由可知，原不等式對(duì)任意nN都成立本例(2)中把“<2”改為“>(n>1且nN)”，能給予證明嗎？證明當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊，左邊>右邊，所以不等式成立假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)不等式成立，即1>.那么nk1時(shí)，1>>.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由可知，原不等式對(duì)任意nN且n>1都成立數(shù)學(xué)歸納法證明第二步時(shí)的注意點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)nk1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均可靈活運(yùn)用在證明過程中，常常要在“湊”出歸納假設(shè)的前提下，根據(jù)剩余部分的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及nk1時(shí)命題的需要進(jìn)行放縮2若nN，且n>1，求證：>.證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊>，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，且k2)時(shí)不等式成立，即>，那么當(dāng)nk1時(shí)，>>.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)任意大于1的正整數(shù)不等式都成立.歸納猜想證明【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，其中an且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并證明思路探究：(1)令n2,3可分別求a2，a3.(2)根據(jù)a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)a2，a1，則a2，類似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想：an.證明：當(dāng)n1時(shí)，由(1)可知等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜想成立，即ak，那么，當(dāng)nk1時(shí)，由題設(shè)an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此，k(2k3)ak1，所以ak1.這就證明了當(dāng)nk1時(shí)命題成立由可知命題對(duì)任何nN都成立證明“歸納猜想證明”的一般環(huán)節(jié)和主要題型1“歸納猜想證明”的一般環(huán)節(jié)2“歸納猜想證明”的主要題型(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在(3)給出一些簡(jiǎn)單的命題(n1,2,3，)，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題3數(shù)列an滿足Sn2nan(Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜想an，并證明解由a12a1，得a11；由a1a22×2a2，得a2；由a1a2a32×3a3，得a3；由a1a2a3a42×4a4，得a4.猜想an.下面證明猜想正確：(1)當(dāng)n1時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜想成立，則有ak，當(dāng)nk1時(shí)，Skak12(k1)ak1，ak12(k1)Skk1，所以，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)和(2)可知，an對(duì)任意正整數(shù)n都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題探究問題1數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1?提示不一定，如證明n邊形的內(nèi)角和為(n2)·180°時(shí)，第一個(gè)值為n03.2數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟之間有怎樣的聯(lián)系？提示第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論因?yàn)閱慰坎襟E(1)，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)命題是否正確，我們無法判定，同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了【例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)思路探究：在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊證明(1)當(dāng)n1時(shí)，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)結(jié)論成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因?yàn)閗3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)知命題對(duì)一切nN都成立證明整除性問題的關(guān)鍵與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步中，根據(jù)歸納假設(shè)，將nk1時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來4用數(shù)學(xué)歸納法證明“n35n能被6整除”的過程中，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)式子(k1)35(k1)應(yīng)變形為_(k35k)3k(k1)6由nk成立推證nk1成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.1數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法，一般地，與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法解決2第一個(gè)值n0是命題成立的第一個(gè)正整數(shù)，并不是所有的第一個(gè)值n0都是13步驟(2)是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵歸納假設(shè)“當(dāng)nk(kn0，kN)時(shí)命題成立”起著已知的作用，證明“當(dāng)nk1時(shí)命題也成立”的過程中，必須用到歸納假設(shè)，再根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等推證1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法()(2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1()(3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可()答案(1)×(2)×(3)2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(nN，a1)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為()A1B1aa2C1a D1aa2a3B當(dāng)n1時(shí)，n12，故左邊所得的項(xiàng)為1aa23用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)nk時(shí)，表達(dá)式為1×42×7k(3k1)k(k1)2，則當(dāng)nk1時(shí)，表達(dá)式為_1×42×7k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)將表達(dá)式1×42×7k(3k1)k(k1)2中的k更換為k14用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，(n21)2(n222)n(n2n2).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1210，右邊0，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)等式成立，即(k21)2(k222)k(k2k2).那么當(dāng)nk1時(shí)，有(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)(2k1)k(k1)k(k1)2(2k1)k(k1)(k23k2).所以當(dāng)nk1時(shí)等式成立由(1)(2)知，對(duì)任意nN等式成立- 10 -