2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第38講 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案

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1、 第38講　數(shù)學(xué)歸納法 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 2015·陜西卷，21 2014·重慶卷，22 數(shù)學(xué)歸納法一般以數(shù)列、集合為背景，用“歸納—猜想—證明”的模式考查. 分值：0～5分 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取n0(n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1

2、時(shí)結(jié)論成立．(　×　) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．(　×　) (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．(　×　) (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)該為1＋2＋22＋23.(　√　) 解析 (1)錯(cuò)誤．用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n為初始值時(shí)結(jié)論成立，不一定是n＝1. (2)錯(cuò)誤．不一定所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明． (3)錯(cuò)誤．不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)的增加根據(jù)題

3、目而定． (4)正確．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23是正確的． 2．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n＝(　C　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析 三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n＝3. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過(guò)程中，第二步n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)得到(　D　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1

4、＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析 由條件知，左邊從20,21到2n－1都是連續(xù)的，因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)為1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右邊應(yīng)為2k＋1－1. 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時(shí)，則從n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(　B　) A．(k＋1)2＋2k2　　　　 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2　　　　 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 解析 由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊增加(k＋1)2＋k2，故選B． 5

5、．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)命題為真，進(jìn)而需證n＝__2k＋1__時(shí)，命題亦真． 解析 因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以與2k－1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k＋1. 一　數(shù)學(xué)歸納法證明等式 數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn) (1)思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少． (2)注意點(diǎn)：由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確地寫(xiě)出證明過(guò)程，不利用歸納假設(shè)的證明

6、，就不是數(shù)學(xué)歸納法． 【例1】 求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． 證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．

7、由①②得，等式對(duì)任意n∈N*都成立． 二　數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證明，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． (2)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等方法證明． 【例2】 已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an

8、＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)·(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，得ak＋1＜ak＋2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，an＜an＋1也成立．根據(jù)①和②，可知an＜an＋1對(duì)任意n∈N*都成立． 三　歸納—猜想—證明 “歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式．其一般思路是：通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種方法在解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式． 【例3】 設(shè)a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)寫(xiě)出a2，a3，a4的

9、值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 解析 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①易知，n＝1時(shí)，猜想正確． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)猜想正確，即ak＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝. 這說(shuō)明n＝k＋1時(shí)猜想正確． 由①②知，對(duì)于任意n∈N*，都有an＝. 1．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 證明 ①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f(1)＝1，右邊＝2

10、＝1， 左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立， 即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝ (k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立． 由①②可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)． 證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋，右邊＝＋

11、1， ∴≤1＋≤，即命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，即 1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋， 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 即n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由①②可知，命題對(duì)所有n∈N*都成立． 3．將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測(cè)S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． S1＝1， S2＝2＋3

12、＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， … 解析 由題意知，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14；當(dāng)n＝2時(shí)，S1＋S3＝16＝24； 當(dāng)n＝3時(shí)，S1＋S3＋S5＝81＝34；當(dāng)n＝4時(shí)，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44； 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S1＋S3＋S5＋…

13、＋S2k－1＋S2k＋1 ＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)] ＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 根據(jù)①和②，可知對(duì)于任意的n∈N*， S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立． 4．已知函數(shù)f(x)＝x－xln x，數(shù)列{an}滿(mǎn)足00，故f(x)

14、在x∈(0,1)時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意n∈N*，不等式0a1>0，且有a2＝f(a1)＝a1－a1ln a10，所以有0

15、＋1，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能猜想得到一個(gè)怎樣的一般不等式？用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 解析 根據(jù)給出的幾個(gè)不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…， 即一般不等式為1＋＋＋…＋>. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ①當(dāng)n＝1時(shí)，1>，猜想正確． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)猜想成立， 即不等式為1

16、＋＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋…＋＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝＋＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立， 所以對(duì)任意的n∈N*，不等式成立． 【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)a1＝1，an＋1＝＋1(n∈N*)，求a2，a3，an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 解析 a2＝2，a3＝＋1， 可寫(xiě)為a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1. 因此猜想an＝＋1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式： 當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論顯然成立．假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立， 即ak＝＋1， 則ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1. 這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立． 綜上可知，an＝＋1(n∈N*)． 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第

17、38講 [解密考綱]在高考中，數(shù)學(xué)歸納法常在壓軸題中使用，考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式． 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為(　B　) A．2k＋1　　 B．2(2k＋1) C．　　 D． 解析 當(dāng)n＝k時(shí)，有(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有(k＋2)(k＋3)·…·(2k＋1)(2k＋2)顯然增乘的＝2(2k＋1)． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n

18、0應(yīng)取(　C　) A．2　　 B．3　　 C．5　　 D．6 解析 n＝4時(shí)，24＜42＋1；n＝5時(shí)，25＞52＋1，故n0＝5. 3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(　A　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 解析 f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故選A． 4．(2018·安

19、徽黃山模擬)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…－＝2時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證(　B　) A．n＝k＋1時(shí)等式成立 B．n＝k＋2時(shí)等式成立 C．n＝2k＋2時(shí)等式成立 D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立 解析 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法步驟可知，要證n為正偶數(shù)對(duì)原式成立，已知假設(shè)n＝k(k≥2且k為偶然)時(shí)，命題為真，則下一步需證下一個(gè)正偶數(shù)即n＝k＋2時(shí)命題為真，故選B． 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是(　D　) A．若f(

20、1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 解析 A，B項(xiàng)與題設(shè)中不等方向不同，故A，B項(xiàng)錯(cuò)；C項(xiàng)中，應(yīng)該是k≥3時(shí)，均有f(k)≥k2成立；D項(xiàng)符合題意． 6．對(duì)于不等式

21、．過(guò)程全部正確 B．n＝1驗(yàn)證不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1推理不正確 解析 在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，即從n＝k到n＝k＋1的推理不正確，故選D． 二、填空題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是__1＋＋<2__. 解析 由n∈N*，n>1知，n取第一個(gè)值n0＝2，當(dāng)n＝2時(shí)，不等式為1＋＋<2. 8．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有(Sn－1)2＝anSn，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn＝____. 解析 由(S1－1)2＝S，得：S1＝； 由(S2－1)2＝(

22、S2－S1)S2，得：S2＝； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得：S3＝.猜想Sn＝. 9．設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域，則f(2)＝__4__，f(n)＝__n2－n＋2__(n≥1，n∈N*)． 解析 易知2個(gè)圓周最多把平面分成4片；n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個(gè)圓周，為使得到盡可能多的平面區(qū)域，第n＋1個(gè)應(yīng)與前面n個(gè)都相交且交點(diǎn)均不同，有n條公共弦，其端點(diǎn)把第n＋1個(gè)圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，從而f(n)＝n2－n＋2

23、. 三、解答題 10．求證：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝， 右邊＝＝，左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立， 即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 綜合①，②可知，對(duì)一切n∈N*等式成立． 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)． 證明 ①當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝，命題成立． ②假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)命題成立， 即1＋＋＋…＋<2－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－

24、＋－＝2－，命題成立． 由①，②知原不等式在n∈N*，n≥2時(shí)均成立． 12．已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿(mǎn)足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說(shuō)明理由． 解析 ∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)， 于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 進(jìn)而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即ak≥2k－1. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②知，對(duì)任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n，∴≤， ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1. 10