2019年高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題學案 文 北師大版

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1、 第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [考綱傳真]　1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． (對應學生用書第83頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C>0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2. 線性規(guī)劃中的相關(guān)概念 名稱 意義 線

2、性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標函數(shù) 關(guān)于x，y的解析式 線性目標函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題 [知識拓展] 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的位置 把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示為y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，則平面區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，則平面區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．

3、 [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一．(　　) (3)目標函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　) (4)不等式x2－y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) C　[x－3y

4、＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方的平面區(qū)域，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方的平面區(qū)域，故選C．] 3．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為 (　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 D　[根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由z＝x＋y 得y＝－x＋z. 作出直線y＝－x，并平移該直線， 當直線y＝－x＋z過點A時，目標函數(shù)取得最大值． 由圖知A(3,0)， 故zmax＝3＋0＝3. 故選D．] 4．(2016·保定調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，若點P(m,1)到直線4x

5、－3y－1＝0的距離為4，且點P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m＝__________. 【導學號：00090190】 6　[由題意得＝4及2m＋1≥3， 解得m＝6.] 5．在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是__________． 1　[不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)， 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.] (對應學生用書第84頁) 二元一次不等式(組)表示的平面

6、區(qū)域 　(1)(2016·浙江高考)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2)(2016·衡水中學調(diào)研)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<5 B．a(chǎn)≥7 C．5≤a<7 D．a(chǎn)<5或a≥7 (1)B　(2)C　[(1)根據(jù)約束條件作出可行域如圖陰影部分，當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件，聯(lián)立方程組求得A(1,2)，聯(lián)立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點且斜率為1的兩條直線方程為x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由

7、兩平行線間的距離公式得距離為＝，故選B． (2)如圖，當直線y＝a位于直線y＝5和y＝7之間(不含y＝7)時滿足條件，故選C．] [規(guī)律方法]　1.可用“直線定界、特殊點定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線不過原點，特殊點常選取原點． 2．不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集，畫出圖形后，面積關(guān)系結(jié)合平面幾何知識求解． [變式訓練1]　(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為__________. 【導學號：00090191】 (2)(2018·濰坊模擬)已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實數(shù)k的值

8、為________． (1)4　(2)　[(1)不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分． 由得 ∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)． 直線x＋2y－4＝0與x軸的交點D的坐標為(4,0)． 因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4. (2)直線kx－y＋2＝0恒過點(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 則A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知 ×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.] 簡單的線性規(guī)劃問題 角度1　求線性目標函數(shù)的最值 　(1)(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則

9、z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 (2)(2017·福州質(zhì)檢)已知實數(shù)x，y滿足且數(shù)列4x，z,2y為等差數(shù)列，則實數(shù)z的最大值是__________. 【導學號：00090192】 (1)A　(2)3　[(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 將目標函數(shù)z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x并平移，當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－6，－3)時，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15. 故選A． (2)在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域為以，，(1,1)為頂點的三角形區(qū)域(包

10、含邊界)，又由題意易得z＝2x＋y，所以當目標函數(shù)z＝2x＋y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(1,1)時，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.] 角度2　求非線性目標函數(shù)的最值 　(1)(2016·山東高考)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是 (　　) 【導學號：00090193】 A．4 B．9 C．10 D．12 (2)(2017·湖北七市4月聯(lián)考)若變量x，y滿足約束條件則z＝的取值范圍是__________． (1)C　(2)　[(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)

11、的點到原點距離的平方，由得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故選C． (2)作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中△ABC所表示的區(qū)域(含邊界)，其中點A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC區(qū)域內(nèi)的點與點M(2,0)的連線的斜率，顯然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化簡得－1≤z≤.] 角度3　線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 　(2016·河北石家莊質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝y(tǒng)－mx(m>0)的最大值為1，則m的值是(　　) A．－ B．1 C．2 D．5 B　[作出可行域，如圖所示的陰影部分．

12、 ∵m>0，∴當z＝y(tǒng)－mx經(jīng)過點A時，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故選B．] [規(guī)律方法]　1.求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一作圖、二平移、三求值．其關(guān)鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義． 2．常見的目標函數(shù)有： (1)截距型：形如z＝ax＋by.求這類目標函數(shù)的最值時常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值． (2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如z＝. 易錯警示：注意轉(zhuǎn)化的等價性及幾何意義． 線性規(guī)劃的實際應用 　(2016·天津高考

13、)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 　　原料 肥料　　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸．在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)． (1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域； (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大

14、利潤． [解]　(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關(guān)系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分． 5分 (2)設(shè)利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝2x＋3y. 考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖像是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當取最大值時，z的值最大．根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖②可知，當直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 7分 解方程組得點M的坐標為(20,24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為

15、112萬元. 12分 [規(guī)律方法]　1.解線性規(guī)劃應用題的步驟 (1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題； (2)求解——解這個純數(shù)學的線性規(guī)劃問題； (3)作答——將數(shù)學問題的答案還原為實際問題的答案． 2．解線性規(guī)劃應用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題． [變式訓練2]　(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg

16、，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 216 000　[設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A為x件，產(chǎn)品B為y件，則 目標函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域為圖中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當直線z＝2 100x＋900y經(jīng)過點(60,100)時，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．] 9