2020版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和教學案 理（含解析）新人教A版

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1、第四節(jié)　數(shù)列求和 [考綱傳真]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法． 1．公式法 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．幾種數(shù)列求和的常用方法 (1)分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減． (2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．裂項時常用的三種變形： ①＝－； ②＝； ③＝－. (3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由

2、一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解． (4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解． (5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用結論] 常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－

3、1＝n2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. (4)12＋22＋…＋n2＝. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有＝.(　　) (2)當n≥2時，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S

4、5等于(　　) A．1　　 B. C. D. B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.] 3．數(shù)列{an}的通項公式是an＝，前n項和為9，則n等于(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 B　[∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故選B.] 4．數(shù)列{1＋2n－1}的前n項和為(　　) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n C　[Sn＝(1＋1＋…＋1)＋(20＋21＋…＋2n－1) ＝n＋＝2n＋n－1.故選

5、C.] 5．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝________. 9　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.] 分組轉化法求和 【例1】　(2018·合肥檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S4＝24，S7＝63. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝2an＋(－1)n·an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)因為{an}為等差數(shù)列， 所以??an

6、＝2n＋1. (2)因為bn＝2an＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)， 所以Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n·(2n＋1)]＝＋Gn. 當n＝2k(k∈N*)時，Gn＝2×＝n， 所以Tn＝＋n； 當n＝2k－1(k∈N*)時，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2， 所以Tn＝－n－2， 所以Tn＝. [規(guī)律方法]　分組轉化法求和的常見類型 (1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其

7、中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論． (2016·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． [解]　(1)設等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n∈N*)． 設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n

8、－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 裂項相消法求和 【例2】　(2019·唐山五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log3，求＋＋…＋. [解]　＝(32－1)＝3， 當n≥2時，因為 ＝－ ＝(32n－1)－(32n－2－1) ＝32n－1， 當n＝1時，＝32n－1也成立， 所以an

9、＝. (2)bn＝log3＝－(2n－1)， 因為＝＝， 所以＋＋…＋＝＝＝. [規(guī)律方法]　(1)利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項. (2)將通項公式裂項后，有時侯需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等. (2019·銀川質檢)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜. [解]　(1)∵S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)

10、＝0， ∴[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0， ∴Sn＝n2＋n或Sn＝－1(舍去) 當n＝1時，a1＝S1＝2， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n， ∴an＝2n(n∈N*)． (2)bn＝＝. ∴Tn＝ ＝1＋－－ ＝－ 又n∈N*，∴Tn＜. 錯位相減法求和 【例3】　已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，前n項和為Sn，an＋1＝2Sn＋3，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式． (2)設bn＝log3an，求數(shù)列的前n項和Tn. [解]　(1)由an＋1＝2Sn＋3， 得an＝2Sn－1＋3(n≥2)， 兩式相減得an＋1－an＝2(S

11、n－Sn－1)＝2an，故an＋1＝3an(n≥2)， 所以當n≥2時，{an}是以3為公比的等比數(shù)列． 因為a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，＝3， 所以{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，an＝3n. (2)an＝3n，故bn＝log3an＝log33n＝n， ＝＝n·n， Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋n×n，① Tn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1.② ①－②，得 Tn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1 ＝－n×n＋1 ＝－n＋1， 所以Tn＝－n. [規(guī)律方法]　錯位相減法求和的具體步驟 步驟1→寫出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；

12、 步驟2→等式兩邊同乘等比數(shù)列的公比q，即qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn； 步驟3→兩式錯位相減轉化成等比數(shù)列求和； 步驟4→兩邊同除以1－q，求出Sn.同時注意對q是否為1進行討論. (2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和(n∈N*)． [解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝1

13、2， 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0. 又因為q>0，解得q＝2，所以bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16② 聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3， 由此可得an＝3n－2. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n. (2)設數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和為Tn，由a2n＝6n－2， b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，① 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4

14、n＋(3n－1)×4n＋1，② ①－②，得 －3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1 ＝－(3n－2)×4n＋1－8， 得Tn＝×4n＋1＋. 所以數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和為×4n＋1＋. 1．(2017·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則 ＝________. 　[設等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由得 ∴Sn＝n×1＋×1＝， ＝＝2. ∴ ＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.] 2．(2015·全國卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an＞0，a＋2

15、an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和． [解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由an>0，得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝ . 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝. - 8 -