2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 第一章 立體幾何初步 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、深化所學(xué)知識(shí).2.會(huì)畫(huà)幾何體的直觀(guān)圖和三視圖，并能計(jì)算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的平行與垂直關(guān)系． 1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行． 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形． 棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截而成的． 這三種幾何體都是多面體． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體．在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常需

2、作它們的軸截面或截面． (3)由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡(jiǎn)單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體． 2．空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖 (1)三視圖是觀(guān)察者從三個(gè)不同位置觀(guān)察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形； 它包括主視圖、左視圖、俯視圖三種．畫(huà)圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則． 注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線(xiàn)和可見(jiàn)輪廓線(xiàn)都用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出，不可見(jiàn)輪廓線(xiàn)用虛線(xiàn)畫(huà)出．熟記常見(jiàn)幾何體的三視圖．畫(huà)組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫(huà)，再檢驗(yàn)． (2)斜二測(cè)畫(huà)法為： 主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫(huà)法．它的主要步驟：①畫(huà)軸；②畫(huà)平行于x、y、z軸的線(xiàn)段分別為平行

3、于x′、y′、z′軸的線(xiàn)段；③截線(xiàn)段：平行于x、z軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半． 三視圖和直觀(guān)圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化，這也是高考考查的重點(diǎn)；根據(jù)三視圖的畫(huà)法規(guī)則理解三視圖中數(shù)據(jù)表示的含義，從而可以確定幾何體的形狀和基本量． 3．幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算 (1)常見(jiàn)幾何體的表面積和體積的計(jì)算公式 面　積 體　積 圓柱 S側(cè)＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐 S側(cè)＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圓臺(tái) V＝(S上＋S下＋)h ＝πh(r＋r＋r1r2) 直棱柱 S側(cè)＝ch V＝Sh

4、 正棱錐 S側(cè)＝ch′ V＝Sh 正棱臺(tái) S側(cè)＝(c＋c′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 (2)求幾何體體積常用技巧 ①等體積法；②割補(bǔ)法． 4．平行關(guān)系 (1)基本性質(zhì)4 平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)________．即如果直線(xiàn)a∥b，c∥b，那么________． (2)直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì) 定理 條件 結(jié)論 符號(hào)語(yǔ)言 判定 如果________________的一條直線(xiàn)和________的一條直線(xiàn)平行 這條直線(xiàn)和這個(gè)平面________ ________，m?α，________?l∥α 性質(zhì)

5、如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面________，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面____________ 這條直線(xiàn)和____________ l∥α，________，______＝m?l∥m (3)平面與平面平行的判定 ①文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行． ②符號(hào)語(yǔ)言：a?β，b?β，________，a∥α，b∥α?β∥α. ③圖形語(yǔ)言：如圖所示． (4)平面與平面平行的性質(zhì)定理 ①文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行． ②符號(hào)語(yǔ)言：α∥β，α∩γ＝a，______?a∥b. ③圖形語(yǔ)言：如圖所示．

6、 ④作用：證明兩直線(xiàn)平行． 5．垂直關(guān)系 (1)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理 定理：如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的________________直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直． 推論：如果在兩條________________中，有一條垂直于平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面． (2)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì) 性質(zhì)1：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的________一條直線(xiàn)垂直． 符號(hào)表示：?a⊥b. 性質(zhì)2：如果兩條直線(xiàn)________________________，那么這兩條直線(xiàn)平行． (3)面面垂直的判定定理 如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的___________

7、_____，則這兩個(gè)平面互相垂直． (4)面面垂直的性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在________________垂直于________________的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面． 6．共面與異面直線(xiàn) (1)共面：空間中的________或________________，如果都在同一平面內(nèi)，我們就說(shuō)它們共面． (2)異面直線(xiàn)：既________又________的直線(xiàn)． 類(lèi)型一　三視圖與表面積及體積的計(jì)算 例1　(1)如圖是一幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是(　　) A．5＋ B．5＋2 C．4＋2 D．4＋2 (2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖

8、所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3. 反思與感悟　此類(lèi)題目是先將三視圖還原成幾何體，計(jì)算幾何體的體積時(shí)，對(duì)于不規(guī)則的幾何體可利用割補(bǔ)法求體積． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的主視圖如圖所示，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______． (2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 類(lèi)型二　空間中的平行問(wèn)題 例2　如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)． 求證：(1)GE∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H.

9、 　 　 反思與感悟　(1)判斷線(xiàn)線(xiàn)平行的方法 ①利用定義：證明線(xiàn)線(xiàn)共面且無(wú)公共點(diǎn)． ②利用平行公理：證明兩條直線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)． ③利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理： a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. ④利用面面平行的性質(zhì)定理： α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. ⑤利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理： a⊥α，b⊥α?a∥b. (2)判定線(xiàn)面平行的方法 ①利用定義：證明直線(xiàn)a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，往往借助反證法． ②利用直線(xiàn)和平面平行的判定定理： a?α，b?α，a∥b?a∥α. ③利用面面平行的性質(zhì)的推廣： α∥β，a?β?a∥α. (3)判定面面平行的方法

10、 ①利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)． ②利用面面平行的判定定理： a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β. ③垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β. ④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β. 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMN∥平面ABC. 　 　 類(lèi)型三　空間中的垂直關(guān)系 例3　如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折

11、起，使得DE⊥EC. (1)求證：AE⊥平面CDE； (2)求證：FG∥平面BCD； (3)在線(xiàn)段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說(shuō)明理由． 　 　 　 反思與感悟　空間中垂直關(guān)系的判定方法 (1)判定線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法 ①計(jì)算所成的角為90°(包括平面角和異面直線(xiàn)所成的角)． ②線(xiàn)面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)． (2)判定線(xiàn)面垂直的方法 ①線(xiàn)面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性)． ②線(xiàn)面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)． ③平行線(xiàn)垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)． ④面面垂直的性質(zhì)(

12、α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)． ⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)． (3)面面垂直的判定方法 ①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90°)． ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)． (1)求證：GF∥平面ABC； (2)求證：平面EBC⊥平面ACD； (3)求幾何體A－DEBC的體積V. 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某三棱錐的三視圖

13、如圖所示，則該三棱錐的表面積是(　　) A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5 2．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線(xiàn)，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面 3．設(shè)有不同的直線(xiàn)m、n和不同的平面α、β，下列四個(gè)命題中，正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β C．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α 4.如圖

14、所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________. 5.如圖，在棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求證：(1)直線(xiàn)PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 　 　 　 　 　 1．研究空間幾何體，需在平面上畫(huà)出幾何體的直觀(guān)圖或三視圖，由幾何體的直觀(guān)圖可畫(huà)它的三視圖，由三視圖可得到其直觀(guān)圖，同時(shí)可以通過(guò)作

15、截面把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題來(lái)解決． 另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過(guò)展開(kāi)圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問(wèn)題通常也是由截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決． 2．轉(zhuǎn)化思想是證明線(xiàn)面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為 答案精析 知識(shí)梳理 4．(1)平行　a∥c (2)不在一個(gè)平面　平面內(nèi)　平行　l?α l∥m　平行　相交　兩平面的交線(xiàn)平行 l?β　α∩β (3)②a∩b＝P (4)②β∩γ＝b 5．(1)兩條相交　平行直線(xiàn) (2)任意　垂直于同一個(gè)平面 (3)一條垂線(xiàn) (4)一個(gè)平面內(nèi)　它們交線(xiàn) 6．(1)幾個(gè)點(diǎn)　幾條直線(xiàn) (2

16、)不平行　不相交 題型探究 例1　(1)A　[如圖所示， 該幾何體的表面積S＝1×1＋×1×1×2＋2××(1＋2)×1＋××＝5＋，故選A.] (2)π 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和一個(gè)圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，所以該幾何體的體積V＝2×π×12×1＋π×12×2＝π(m3)． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)π 解析　由主視圖知，三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，外接球的球心在上下兩個(gè)三角形中心連線(xiàn)的中點(diǎn)上，連接球心和任意一個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段長(zhǎng)為球的半徑，則R2＝()2＋()2＝(其中R為球的半徑)，則球的表面積S＝4πR2＝4π

17、×＝π. (2)24 解析　由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由主視圖和左視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長(zhǎng)方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀(guān)圖如圖(2)所示．在圖(1)中，＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30， ＝·PB1＝××4×3×3＝6.故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24. 例2　證明　(1)取B1D1中點(diǎn)O，連接GO，OB， 易證 OG綊B1C1， BE綊B1C1， ∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形． ∴OB∥GE. ∵OB?平面BB1D1D， GE?平面BB1D1D，

18、 ∴GE∥平面BB1D1D. (2)由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD， ∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF， ∴B1D1∥平面BDF. 連接HB，D1F， 易證HBFD1是平行四邊形， 得HD1∥BF. ∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF， ∴HD1∥平面BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 跟蹤訓(xùn)練2　證明　∵M(jìn)、N分別是EA與EC的中點(diǎn)，∴MN∥AC， 又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC， ∴MN∥平面ABC， ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC， ∴BD∥EC， ∵N為EC中點(diǎn)，EC＝2BD， ∴NC綊BD，

19、 ∴四邊形BCND為矩形， ∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC， ∴DN∥平面ABC，又∵M(jìn)N∩DN＝N， ∴平面DMN∥平面ABC. 例3　(1)證明　由已知得DE⊥AE， AE⊥EC. ∵DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE， ∴AE⊥平面CDE. (2)證明　取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H， ∴GH∥BD， FH∥BC. ∵GH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴GH∥平面BCD. 同理，F(xiàn)H∥平面BCD， 又GH∩FH＝H， ∴平面FHG∥平面BCD， ∵GF?平面FHG， ∴GF∥平面BCD. (3)解　取線(xiàn)段AE的中點(diǎn)R

20、， DC的中點(diǎn)M，DB的中點(diǎn)S， 連接MS，RS，BR，DR，EM， 則MS綊BC. 又RE綊BC， ∴MS綊RE， ∴四邊形MERS是平行四邊形， ∴RS∥ME. 在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點(diǎn)， ∴EM⊥DC. 由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC， ∴BC⊥平面CDE. ∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC. ∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD. ∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD. ∵RS?平面BDR， ∴平面BDR⊥平面DCB. 跟蹤訓(xùn)練3　(1)證明　如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HG∥BC，

21、 HF∥DE. 又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形， 所以DE∥AB，從而HF∥AB. 所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC. 又因?yàn)镚H∩HF＝H， 所以平面HGF∥平面ABC. 所以GF∥平面ABC. (2)證明　因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以EB⊥AB. 又因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC， 平面ABED∩平面ABC＝AB， 所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC. 又因?yàn)镃A2＋CB2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因?yàn)锽E∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 又因?yàn)锳C?平面ACD， 從而平面EBC⊥平面ACD. (3)解　取AB的中點(diǎn)N，連接CN，

22、因?yàn)锳C＝BC， 所以CN⊥AB，且CN＝AB＝a. 又平面ABED⊥平面ABC， 平面ABED∩平面ABC＝AB， 所以CN⊥平面ABED. 因?yàn)镃－ABED是四棱錐， 所以VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3. 即幾何體A－DEBC的體積V＝a3. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．C　2.B　3.D 4.a 解析　∵M(jìn)N∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝， 故PQ＝＝DP＝. 5．證明　(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥PA. 又因?yàn)镻A?平面DEF， DE?平面DEF， 所以直線(xiàn)PA∥平面DEF. (2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC， EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 15