2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 北師大版

第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法考綱傳真(教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第104頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)驗(yàn)證：當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n01或2)時(shí)，命題成立(2)在假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)nk1時(shí)，命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開(kāi)始的正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示圖6­1­1基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)2已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2，且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立Bk為偶數(shù)，則k2為偶數(shù)3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2C3D0C因?yàn)橥筺邊形最小為三角形，所以第一步檢驗(yàn)n等于3，故選C.4(教材改編)已知an滿足an1anan1，nN，且a12，則a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n15用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1<n(n>1)”由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_2k當(dāng)nk時(shí)，不等式為1<k.則nk1時(shí)，左邊應(yīng)為1，則左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k112k12k.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第104頁(yè))用數(shù)學(xué)歸納法證明等式設(shè)f(n)1(nN)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)·f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN)規(guī)律方法數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)(1)思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)注意點(diǎn)：由nk時(shí)等式成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程.易錯(cuò)警示：不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.跟蹤訓(xùn)練求證：(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140214】證明(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊2，右邊2，故等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1)，那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k11)(k12)··(k1k1)(k2)(k3)··(kk)(2k1)(2k2)2k·1·3·5··(2k1)(2k1)·22k1·1·3·5··(2k1)(2k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)所有nN等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(2017·武漢調(diào)研)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意的nN，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0，且b1，b，r均為常數(shù))的圖像上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN)證明：對(duì)任意的nN，不等式···成立解(1)由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)證明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN)，所證不等式為···.當(dāng)n1時(shí)，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即···，則當(dāng)nk1時(shí)，·····，要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證，即證，由基本不等式可得成立，故成立，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立根據(jù)可知，nN時(shí)，不等式···成立規(guī)律方法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍與關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)關(guān)鍵：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.即一湊歸納假設(shè)，二湊證題目標(biāo).(3)特別注意：證nk1時(shí)，知nk時(shí)命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)需增加或減少多少項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練(2017·浙江高考節(jié)選)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN)證明：當(dāng)nN時(shí)，0<xn1<xn.證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0.當(dāng)n1時(shí)，x11>0.假設(shè)nk時(shí)，xk>0，那么nk1時(shí)，若xk10，則0<xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk1>0.因此xn>0(nN)所以xnxn1ln(1xn1)>xn1.因此0<xn1<xn(nN)歸納猜想證明已知正項(xiàng)數(shù)列an中，對(duì)于一切的nN均有aanan1成立(1)證明：數(shù)列an中的任意一項(xiàng)都小于1；(2)探究an與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)由aanan1得an1ana.在數(shù)列an中，an0，an10，ana0，0an1，故數(shù)列an中的任何一項(xiàng)都小于1.(2)由(1)知0a11，那么a2a1a，由此猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2，且nN時(shí)猜想正確當(dāng)n2時(shí)已證；假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)，有ak成立，那么，ak1aka，當(dāng)nk1時(shí)，猜想正確綜上所述，對(duì)于一切nN，都有an.規(guī)律方法解決“歸納猜想證明”問(wèn)題的一般思路：通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用.易錯(cuò)警示：猜想an的通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確計(jì)算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng))；(2)證明ak1時(shí)，ak1的求解過(guò)程與a2，a3的求解過(guò)程相似，注意體會(huì)特殊與一般的辯證關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練(2017·常德模擬)設(shè)a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)寫(xiě)出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN)(2)證明：易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk(k1且kN)時(shí)猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說(shuō)明，nk1時(shí)猜想正確由知，對(duì)于任何nN，都有an.7