2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 北師大版

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1、 第六節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題． (對應(yīng)學(xué)生用書第104頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)驗證：當(dāng)n取第一個值n0(如n0＝1或2)時，命題成立． (2)在假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立的前提下，推出當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 圖6-1-1 [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”

2、，錯誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng)n＝1時結(jié)論成立．(　　) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．(　　) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用．(　　) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　　) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…－＝2時，若已假設(shè)n＝k(k≥2，

3、且k為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證(　　) A．n＝k＋1時等式成立　 B．n＝k＋2時等式成立 C．n＝2k＋2時等式成立 D．n＝2(k＋2)時等式成立 B　[k為偶數(shù)，則k＋2為偶數(shù)．] 3．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于(　　) A．1　　　 B．2　　　　　C．3　　　　　D．0 C　[因為凸n邊形最小為三角形，所以第一步檢驗n等于3，故選C.] 4．(教材改編)已知{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，則a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜

4、想an＝__________. [答案]　3　4　5　n＋1 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋＋＋…＋1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的項的項數(shù)是__________． 2k　[當(dāng)n＝k時，不等式為1＋＋＋…＋

5、＝f(1)＝1， 右邊＝2＝1，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時，結(jié)論成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，當(dāng)n＝k＋1時， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)·f(k)－k ＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， 所以當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)． [規(guī)律方法]　數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點 (1)思

6、路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少. (2)注意點：由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程. 易錯警示：不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法. [跟蹤訓(xùn)練]　求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋). 【導(dǎo)學(xué)號：79140214】 [證明]　(1)當(dāng)n＝1時，等式左邊＝2，右邊＝2，故等式成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時等式成立， 即(k＋1)(

7、k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 所以當(dāng)n＝k＋1時等式也成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對所有n∈N＋等式成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　(2017·武漢調(diào)研)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知對任意的n∈N＋，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0，且b≠1，b，r均為常

8、數(shù))的圖像上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)． 證明：對任意的n∈N＋，不等式··…·＞成立． [解]　(1)由題意，Sn＝bn＋r， 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0，且b≠1，所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N＋)，所證不等式為··…·＞. ①當(dāng)n＝1時，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k時結(jié)論成

9、立，即··…·＞， 則當(dāng)n＝k＋1時，··…··＞·＝， 要證當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立， 只需證≥， 即證≥， 由基本不等式可得 ＝≥成立， 故≥成立，所以當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立． 根據(jù)①②可知，n∈N＋時， 不等式··…·＞成立． [規(guī)律方法]　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍與關(guān)鍵 (1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. (2)關(guān)鍵：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)

10、等放縮技巧，使問題得以簡化.即一湊歸納假設(shè)，二湊證題目標(biāo). (3)特別注意：證n＝k＋1時，知n＝k時命題的結(jié)構(gòu)特點需增加或減少多少項. [跟蹤訓(xùn)練]　(2017·浙江高考節(jié)選)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋ xn＋1)(n∈N＋)． 證明：當(dāng)n∈N＋時，00. 當(dāng)n＝1時，x1＝1>0. 假設(shè)n＝k時，xk>0， 那么n＝k＋1時， 若xk＋1≤0，則00. 因此xn>0(n∈N＋)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1

11、)>xn＋1. 因此0

12、正確． ①當(dāng)n＝2時已證； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時，有ak＜成立， 那么≤，ak＋1≤ak－a＝－＋＜－＋＝－＝＜＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時，猜想正確． 綜上所述，對于一切n∈N＋，都有an＜. [規(guī)律方法]　解決“歸納—猜想—證明”問題的一般思路：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用. 易錯警示：猜想{an}的通項公式時應(yīng)注意兩點：(1)準(zhǔn)確計算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時可多計算幾項)；(2)證明ak＋1時，ak＋1的求解過程與a2，a3的求解過程相似，注意體會特

13、殊與一般的辯證關(guān)系. [跟蹤訓(xùn)練]　(2017·常德模擬)設(shè)a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)， n∈N＋. (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. [解]　(1)∵a1＝1， ∴a2＝f(a1)＝f(1)＝； a3＝f(a2)＝＝； a4＝f(a3)＝＝. 猜想an＝(n∈N＋)． (2)證明：①易知，n＝1時，猜想正確． ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N＋)時猜想正確，即ak＝， 則ak＋1＝f(ak)＝＝ ＝＝. 這說明，n＝k＋1時猜想正確． 由①②知，對于任何n∈N＋， 都有an＝. 7