2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學(xué)案 理(含解析)北師大版

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1、第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [考綱傳真] 1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線的幾何要素,掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. 1.直線的傾斜角 (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角,叫作直線l的傾斜角,當(dāng)直線l和x軸平行時(shí),它的傾斜角為0. (2)傾斜角的范圍是[0,π). 2.斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α≠90°,則斜率k

2、=tan_α. (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則l的斜率k=. 3.直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直線x=x0 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 = 不含直線x=x1(x1≠x2)和直線y=y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 +=1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 平面內(nèi)所有直線都適用 1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系: α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k

3、 0 k>0 不存在 k<0 2.當(dāng)α∈時(shí),α越大,l的斜率越大;當(dāng)α∈時(shí),α越大,l的斜率越大. [基礎(chǔ)自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率. (  ) (2)直線的傾斜角越大,其斜率就越大. (  ) (3)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線都可用方程y-y0=k(x-x0)表示. (  ) (4)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. (  ) [答案] (1)× (2)× (3)

4、× (4)√ 2.(教材改編)已知兩點(diǎn)A(-3,),B(,-1),則直線AB的斜率是(  ) A.         B.- C. D.- D [kAB==-,故選D.] 3.(教材改編)過點(diǎn)(-1,2)且傾斜角為30°的直線方程為(  ) A.x-3y+6+=0 B.x-3y-6+=0 C.x+3y+6+=0 D.x+3y-6+=0 A [直線的斜率k=tan 30°=. 由點(diǎn)斜式方程得y-2=(x+1),即x-3y+6+=0,故選A.] 4.如果A·C<0且B·C<0,那么直線Ax+By+C=0不通過(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

5、D.第四象限 C [法一:由Ax+By+C=0得y=-x-. 又AC<0,BC<0,故AB>0,從而-<0,->0, 故直線不通過第三象限.故選C. 法二:取A=B=1,C=-1,則直線x+y-1=0,其不過第三象限,故選C.] 5.過點(diǎn)M(3,-4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為________. 4x+3y=0或x+y+1=0 [若直線過原點(diǎn),則k=-,所以y=-x,即4x+3y=0. 若直線不過原點(diǎn),設(shè)+=1,即x+y=a,則a=3+(-4)=-1,所以直線方程為x+y+1=0.] 直線的傾斜角與斜率的應(yīng)用 【例1】 (1)直線2xcos α-y-3=

6、0的傾斜角的取值范圍是(  ) A. B. C. D. (2)直線l過點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線l斜率的取值范圍為________. (1)B (2)(-∞,-]∪[1,+∞) [(1)直線2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α.由于α∈,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1,].設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tan θ∈[1,].由于θ∈[0,π),所以θ∈,即傾斜角的取值范圍是. (2)如圖,∵kAP==1,kBP==-, 要使過點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn), 只需k≥1或k≤-,即直線l斜率的取值范圍為

7、(-∞,-]∪[1,+∞).] [母題探究] (1)若將本例(2)中P(1,0)改為P(-1,0),其他條件不變,求直線l斜率的取值范圍. (2)若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2,-1),其他條件不變,求直線l傾斜角的范圍. [解] (1)∵P(-1,0),A(2,1),B(0,), ∴kAP==, kBP==. 如圖可知,直線l斜率的取值范圍為. (2)如圖,直線PA的傾斜角為45°,直線PB的傾斜角為135°, 由圖像知l的傾斜角的范圍為[0°,45°]∪[135°,180°). [規(guī)律方法] 1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟 (1)求出斜率k=tan α的取值范圍

8、. (2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖像,確定傾斜角α的取值范圍. 求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在. 2.斜率的求法 (1)定義法:若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan α求斜率. (2)公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. (1)已知點(diǎn)(-1,2)和在直線l:ax-y+1=0(a≠0)的同側(cè),則直線l傾斜角的取值范圍是(  ) A. B.∪ C. D. (2)設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(  ) A.

9、 B.[-1,0] C.[0,1] D. (1)D (2)A [(1)由題(-a-2+1)>0, 即(a+1)(a+)<0, 所以-<a<-1,又直線l的斜率k=a, 即-<k<-1, 所以傾斜角的取值范圍為,故選D. (2)由題意知y′=2x+2,設(shè)P(x0,y0),則k=2x0+2. 因?yàn)榍€C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1. 所以-1≤x0≤-.故選A.] 直線方程的求法 【例2】 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC邊所在直線的方程; (2)BC邊上中線A

10、D所在直線的方程; (3)BC邊的垂直平分線DE的方程. [解] (1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(-2,3)兩點(diǎn),得BC的方程為=,即x+2y-4=0. (2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D(x,y),則x==0,y==2. BC邊的中線AD過A(-3,0),D(0,2)兩點(diǎn),所在直線方程為+=1,即2x-3y+6=0. (3)由(1)知,直線BC的斜率k1=-,則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2=2. 所求直線方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0. [規(guī)律方法] 求直線方程應(yīng)注意以下三點(diǎn) (1)在求直線方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?,并注意各種形式的適用條件. (2)對于

11、點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零). (3)截距可正、可負(fù)、可為0,因此在解與截距有關(guān)的問題時(shí),一定要注意“截距為0”的情況,以防漏解. (1)若直線經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍,則該直線的方程為________. (2)若直線經(jīng)過點(diǎn)A(-,3),且傾斜角為直線x+y+1=0的傾斜角的一半,則該直線的方程為________. (1)x+2y+1=0或2x+5y=0 (2)x-y+6=0 [(1)①當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí),設(shè)所求的直線方程為y=kx,將(-5,2)代入y=kx中,得k=-, 此時(shí),直線方程為y=-x,即2x+5y=0. ②當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時(shí), 設(shè)所求直線方程為+=1, 將(-5,2)代入所設(shè)方程,解得a=-,此時(shí),直線方程為x+2y+1=0. 綜上所述,所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0. (2)由x+y+1=0得此直線的斜率為-, 所以傾斜角為120°,從而所求直線的傾斜角為60°, 故所求直線的斜率為. 又直線過點(diǎn)A(-,3),所以所求直線方程為y-3=(x+),即x-y+6=0.] - 6 -

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