2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第1節(jié) 排列與組合教學案 理（含解析）北師大版

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1、第一節(jié)　排列與組合 [考綱傳真]　1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題． 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理) 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有

2、m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法． 3．排列、組合的定義 排列的定義　 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義　 合成一組 4.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù) 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù) 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性質(zhì) A＝n！，0?。? C＝C，C＋C＝C [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正

3、確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列． (　　) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事． (　　) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的． (　　) (4)kC＝nC. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)圖書館的一個書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法有(　　) A．12　　　　　　　 B．16 C．64 D．120 B　[書架上共有3＋5＋8＝

4、16本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B．] 3．(教材改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 C　[末位只能從2,4中選一個，其余的三個數(shù)字任意排列，故這樣的偶數(shù)共有AC＝4×3×2×2＝48個．故選C.] 4．某市委從組織機關10名科員中選3人擔任駐村第一書記，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(　　) A．85 B．56 C．49 D．28 C　[法一(直接法)：甲、乙兩人均入選，有CC種方法， 甲、乙兩人只有1人入選，有CC種方法， 由

5、分類加法計數(shù)原理，共有CC＋CC＝49種選法． 法二(間接法)：從9人中選3人有C種方法， 其中甲、乙均不入選有C種方法， ∴滿足條件的選排方法有C－C＝84－35＝49種．] 5．將6名教師分到三所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法． 360　[將6名教師分組，分3步完成： 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法； 第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CCC＝60(種)取法． 將這三組教師分配到三所中學，有A＝6(種)分法， 故共

6、有60×6＝360(種)不同法．] 兩個計數(shù)原理的綜合應用 【例1】　(1)從甲地到乙地每天有直達汽車4班，從甲到丙地，每天有5個班車，從丙地到乙地每天有3個班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有(　　) A．12種 B．19種 C．32種 D．60種 (2)如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(　　) A．400種 B．460種 C．480種 D．496種 (1)B　(2)C　[(1)分兩類：一類是直接從甲到乙，有n1＝4種方法； 另一類是從甲經(jīng)丙再到乙，可分為兩步，有n2＝5×3＝15種

7、方法． 由分類加法計數(shù)原理可得：從甲到乙的不同乘車方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故選B． (2)完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當使用4種顏色時：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360種方法；當使用3種顏色時，A，D使用同一種顏色，從A，D開始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120種方法．由分類加法計數(shù)原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(種)．] [規(guī)律方法]　與兩個計數(shù)原理有關問題的解題策略 (1)在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數(shù)

8、原理． (2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，化抽象為直觀． (1)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________．五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種． (2)用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成________個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)．(用數(shù)字作答) (1)45　54　(2)420　[(1)五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法．五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種

9、獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性． (2)①當末位數(shù)字是0時，如圖(1)所示，共有A個不同的四位偶數(shù)； 圖(1) ②當末位數(shù)字是2或4或6時，如圖(2)所示，共有AAC個不同的四位偶數(shù)；即共有A＋AAC＝120＋5×5×4×3＝420個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)．] 圖(2) 排列問題 【例2】　3名女生和5名男生排成一排． (1)若女生全排在一起，有多少種排法？ (2)若女生都不相鄰，有多少種排法？ (3)若女生不站兩端，有多少種排法？ (4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？ (5)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？ [解]　(

10、1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有A種排法，因此共有A·A＝4 320種不同排法． (2)(插空法)先排5名男生，有A種排法，這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法． (3)法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5名男生中選2人排，有A種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法． 法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個安排女生，有A種排法，其余位置無限制，有A種排法

11、，因此共有A·A＝14 400種不同排法. (4)8名學生的所有排列共A種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，因此符合要求的排法種數(shù)為A＝20 160. (5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置． 法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有A種不同排法；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有A種，其余人全排列，共有A·A·A種不同排法． 由分類加法計數(shù)原理知，共有A＋A·A·A＝30 960種不同排法． 法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有A種排法，余下7個位置全排，有A種排法，但應剔除乙在最右邊

12、時的排法A·A種，因此共有A·A－A·A＝30 960種排法． 法三(間接法)：8名學生全排列，共A種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有A種排法，乙在最右邊時，有A種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A種排法．因此共有A－2A＋A＝30 960種排法． [規(guī)律方法]　求解排列應用問題的六種常用方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中

13、定序問題 除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法 (1)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 (2)旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．16 D．10 (1)D　(2)D　[(1)先把3把椅子隔開擺好，它們之間和兩端共有4個位置，再把3人帶椅子插放在4個位置，共有A

14、＝24(種)方法．故選D． (2)分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有C·A種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為A＋C·A＝10.故選D．] 組合問題 【例3】　某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？ (1)只有一名女生當選； (2)兩隊長當選； (3)至少有一名隊長當選； (4)至多有兩名女生當選． [解]　(1)只有一名女生當選等價于有一名女生和四名男生當選．故共有C·C＝350種． (2)兩隊長當選，共有C·C＝165種．

15、 (3)至少有一名隊長當選含有兩類：只有一名隊長當選，有兩名隊長當選．故共有C·C＋C·C＝825種．(或采用排除法：C－C＝825(種))． (4)至多有兩名女生當選含有三類：有兩名女生當選，只有一名女生當選，沒有女生當選．故選法共有C·C＋C·C＋C＝966種． [律方規(guī)法]　組合問題的常見類型與處理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。? (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解． (1)某單位擬安排6位員工在今年6月9日至1

16、1日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有(　　) A．30種 B．36種 C．42種 D．48種 (2)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 (1)C　(2)C　[(1)若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有C種選法，9日、10日有CC種安排方法，共有CCC＝24(種)安排方法； 若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C

17、CC種安排方法，共有12種安排方法； 若甲、乙都在10日值班，則共有CC＝6(種)安排方法． 所以總共有24＋12＋6＝42(種)安排方法． (2)分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有CC＝264(種)； 第二類，不含有紅色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(種)． 由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法有264＋208＝472(種)．] 排列、組合的綜合應用 【例4】　(1)將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲小組至少2人，乙、丙組至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為(　　) A．80 B．120 C．140 D．50 (2)如果一個三位正

18、整數(shù)“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為(　　) A．240 B．204 C．729 D．920 (1)A　(2)A　[(1)先將5名同學分成3組，有兩種分配方案，一是三組人數(shù)分別為2,2,1，分組方法有＝15(種)，然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙，分配方法是15×(A＋A)＝60(種)；二是三組人數(shù)分別為3,1,1，分組方法有＝10(種)，然后將1人的兩組分給乙、丙兩組，分配方法是10×A＝20(種)．故共有60＋20＝80(種)． (2)如果這個三位數(shù)含0，則0必在末位，共有這樣的凸數(shù)

19、C個；如果這個三位數(shù)不含0，則這樣的凸數(shù)共有CA＋C個．即共有2C＋CA＝240個．] [規(guī)律方法]　1.排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列． 當有多個限制條件時，應以其中一個限制條件為標準分類，限制條件多時，多考慮用間接法，但需確定一個總數(shù)． 2．(1)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法． (2)對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”． (1)(2019·長春質(zhì)檢)要將甲、乙、丙、丁4名同學分到A，B，C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲

20、被分到A班的分法種數(shù)為(　　) A．6 B．12 C．24 D．36 (2)(2017·浙江高考)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) (1)B　(2)660　[(1)甲和另一個人一起分到A班有CA＝6種分法，甲一個人分到A班的方法有：CA＝6種分法，共有12種分法．故選B． (2)法一：只有1名女生時，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法．由分步乘法計數(shù)原理，知共有CCA＝480(種)選法． 有2名女生時，再

21、選2名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法．由分步乘法計數(shù)原理，知共有CA＝180(種)選法．所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有480＋180＝660(種)不同的選法． 法二：不考慮限制條件，共有AC種不同的選法， 而沒有女生的選法有AC種， 故至少有1名女生的選法有AC－AC＝840－180＝660(種)．] 1.(2017·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 D　[由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式

22、為C·C·A＝36(種)，或列式為C·C·C＝3××2＝36(種)． 故選D．] 2．(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 B　[從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因為從A到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同

23、，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6×3＝18.] 3.(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案) 16　[法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC＝4(種)． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種． 法二：從6人中任選3人，不同的選法有C＝20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有C＝4(種)，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20－4＝16(種)．] - 9 -