2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教A版必修5

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1、 習(xí)題課 數(shù)列求和 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　掌握數(shù)列求和的幾種基本方法． 知識(shí)點(diǎn)　數(shù)列求和的方法 1．基本求和公式 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. 2．倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的． 思考　已知f(x)＝，利用等差數(shù)列求和的方法求f()＋f()＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________． 答案　 解

2、析　設(shè)原式＝S， 則S＝f(5)＋f(4)＋f(3)＋f(2)＋f(1)＋f()＋f()＋f()＋f()， ∵f(n)＋f()＝＋＝1， ∴S＝4＋f(1)＝4＋＝. 3．錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的． 4．裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． 裂項(xiàng)相消求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式： (1)＝－； (2)＝； (3)＝－． 5．分組求和法 分組求和一般適用于兩種形式： (1)若an＝bn±cn，且

3、{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和； (2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 6．并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 題型一　分組求和法 例1　在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n

4、＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. 反思與感悟　某些數(shù)列通過適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和． 跟蹤訓(xùn)練1　已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n

5、項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q， 由得 ∴{bn}的通項(xiàng)公式bn＝b1qn－1＝3n－1， 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…)． (2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. ∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， ∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋ ＝2×－n＋ ＝n2＋. 即數(shù)列

6、{cn}的前n項(xiàng)和為n2＋. 題型二　錯(cuò)位相減法求和 例2　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得 解得a1＝1，d＝2， 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當(dāng)n＝1時(shí)，＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，＝1－－＝， 所以＝，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*， 所以T

7、n＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得Tn＝＋－＝－－， 所以Tn＝3－. 反思與感悟　用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．若公比是個(gè)參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和． 跟蹤訓(xùn)練2　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)∵an＋1＝2Sn

8、， ∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，∴＝3.又∵S1＝a1＝1， ∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列． ∴Sn＝3n－1(n∈N*)． 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1， ∴an＝ (2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan， 當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，① ∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，② ①－②得－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·－2n·3n－1 ＝－1＋(1－2n)·3n－1， ∴Tn＝＋(n－)3n－1

9、(n≥2)， 又∵T1＝a1＝1也滿足上式， ∴Tn＝＋(n－)3n－1(n∈N*)． 題型三　裂項(xiàng)相消求和 例3　求數(shù)列，，，，…的前n項(xiàng)和． 解　因?yàn)橥?xiàng)an＝＝(－)，所以此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)] ＝(1＋－－) ＝－. 反思與感悟　如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可以化為f(n＋1)－f(n)的形式，在數(shù)列求和時(shí)，就可以采用裂項(xiàng)相消法．要注意相消后的項(xiàng)要對(duì)稱，如前面留下兩項(xiàng)，則后面也會(huì)留下兩項(xiàng)． 跟蹤訓(xùn)練3　正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a－(2n－1)an－2n＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前

10、n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以an＝2n. (2)由an＝2n，bn＝， 得bn＝＝(－)． 所以Tn＝(1－＋－＋…＋－＋－)＝(1－)＝. 題型四　并項(xiàng)求和法 例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1) ＝2·＋(－2n＋1)＝－n； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.

11、∴Sn＝(－1)nn(n∈N*)． 反思與感悟　當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)正、負(fù)相間時(shí)，通常采用并項(xiàng)求和法，但應(yīng)注意對(duì)n的取值的奇偶性進(jìn)行討論．其結(jié)果有時(shí)可以統(tǒng)一書寫，有時(shí)要分段書寫． 跟蹤訓(xùn)練4　已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1. 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1， 所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1. (2)由題意，

12、得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列． 設(shè)數(shù)列{(－1)nb}的前n項(xiàng)和為Tn，則 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b2＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2. 例5　已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，求f()． 解　f()＝＋2×＋3×＋…＋n×，① ∴f()＝＋2×＋3×＋…＋n×，② ∴①－②得，f()＝＋＋＋…＋－ ＝1－－， ∴f()＝2－－＝2－. 誤區(qū)警示　 (1)同乘的系數(shù)為等比數(shù)列的公比． (2)指數(shù)相同的項(xiàng)

13、相減． (3)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是(n－1)項(xiàng)還是n項(xiàng)． (4)指數(shù)式的計(jì)算是否正確． (5)在涉及到公比為字母時(shí)應(yīng)注意討論q是否為1. 1．設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為(　　) A．978 B．557 C．467 D．979 答案　A 解析　由題意可得a1＝1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，則，∴q2－2q＝0， ∵q≠0，∴q＝2，∴d＝－1， ∴an＝2n－1，bn＝(n－1)(－1)＝1－n，∴cn＝2n－1＋1－n， 設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)

14、和為Sn，∴S10＝978. 2．1002－992＋982－972＋…＋22－12的值是(　　) A．5 000 B．5 050 C．10 100 D．20 200 答案　B 解析　對(duì)相鄰兩項(xiàng)由平方差公式得，原式＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n·2n，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為(　　) A．n·2n＋1 B．n·2n＋1－2 C．(n－1)·2n＋1＋2 D．n·2n＋1＋2 答案　C 解析　Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，

15、 相減得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1 ＝－2＋(1－n)·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2. 4．?dāng)?shù)列1，2，3，4，…的前n項(xiàng)和為(　　) A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－ C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋ 答案　A 解析　Sn＝ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋ ＝＋1－＝(n2＋n＋2)－. 求數(shù)列前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法 1．公式法：適用于已知類型為等差或等比數(shù)列的求和． 2．錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和． 3．分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列． 4．裂項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和． 5．奇偶并項(xiàng)：當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(－1)n或(－1)n＋1時(shí)，常常需要對(duì)n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論． 6．倒序相加：例如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法． 8