2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達定理）高效演練學(xué)案

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1、 第2講 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理） 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用．本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進行講述。 【知識梳理】 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理） 一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．上述定理成立的前提是． 【高效演練】 1.若 是一

2、元二次方程 的兩個根，則的值是(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－3 【解析】：方程的兩根為，，根據(jù)題意得．故選D． 【答案】D． 2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個實數(shù)根，則α2+β2的值為（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【解析】∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個實數(shù)根，∴α+β=2，αβ=﹣3， ∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故選D． 【答案】D 3．關(guān)于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的

3、兩根同為負數(shù)，則(　　) A. p＞0且q＞0 B. p＞0且q＜0 C. p＜0且q＞0 D. p＜0且q＜0 【解析】試題解析：設(shè)x1，x2是該方程的兩個負數(shù)根，則有x1+x2＜0，x1x2＞0， ∵x1+x2=-p，x1x2=q ∴-p＜0，q＞0 ∴p＞0，q＞0．故選A． 【答案】A 4.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有兩個相等的實數(shù)根，且滿足x1＋x2＝x1x2，則m的值是(　　) A. －2或3 B. 3

4、C. －2 D. －3或2 5.規(guī)定：如果關(guān)于x的一元二次方程（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現(xiàn)有下列結(jié)論： ①方程是倍根方程； ②若關(guān)于x的方程是倍根方程，則a=±3； ③若關(guān)于x的方程（a≠0）是倍根方程，則拋物線與x軸的公共點的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）； ④若點（m，n）在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于x的方程是倍根方程． 上述結(jié)論中正確的有（　?。? A．①②　　　　　　B．③④　　　　　　C．②③　　　　　　D．②④ 【解析】 ③關(guān)于x的方程（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵

5、拋物線的對稱軸是直線x=3，∴拋物線與x軸的交點的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0），故③正確； ④∵點（m，n）在反比例函數(shù)的圖象上，∴mn=4，解得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴關(guān)于x的方程不是倍根方程；故選C． 【答案】C． 6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，則=__________. 【解析】∵關(guān)于的方程： 的兩個實數(shù)根分別為， ∴， ∴. 【答案】-3 7.若方程的兩實根為a、b，則的值為_______。 【解析】∵方程x2–x–1=0的兩實根為a、b， ∴a+b=1，ab=–1， ∴． 【答案】-1 8．設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則的值為____

6、___。 【解析】由是方程的兩個實數(shù)根， 則且， 又 【答案】2017 9.關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根之積為負，則實數(shù)m的取值范圍 是 ． 10.一元二次方程有兩個實根，一個比3大，一個比3小，的取值范圍為_______。 【解析】解一：由 解得： 解二：設(shè)，則如圖所示，只須，解得 【答案】 11．若關(guān)于x的一元二次方程x2–4x+k–3=0的兩個實數(shù)根為x1、x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩個實數(shù)根及k的值． 【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1+x2=4①，x1x2=k–3② 又∵x1=3x2③， 聯(lián)立①、③

7、，解方程組得， ∴k=x1x2+3=3×1+3=6 則方程兩根為x1=3，x2=1；k=6． 【答案】x1=3，x2=1；k=6． 12.已知關(guān)于的方程 （1）若這個方程有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍； （2）若方程兩實數(shù)根分別為x1、x2，且滿足,求實數(shù)k的值. 【解析】分析：（1）根據(jù)方程有實根可得△≥0，進而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k2-4k-1）≥0，再解即可； （2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2（k-3），x1?x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1?x2= k2-4

8、k-1可計算出m的值． 解析：（1）∵x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有實數(shù)根， ∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0， 解得：k≤5； 13.已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值． (1) 方程兩實根的積為5； (2) 方程的兩實根滿足． 【解析】(1) ∵方程兩實根的積為5 ∴ 所以，當(dāng)時，方程兩實根的積為5． (2) 由得知： ①當(dāng)時，，所以方程有兩相等實數(shù)根，故； ②當(dāng)時，，由于 ，故不合題意，舍去． 綜上可得，時，方程的兩實根滿足． 【答案】（1）；（2）. 14.已知

9、關(guān)于x的一元二次方程 ，其中k為常數(shù)． （1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根； （2）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍； （3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數(shù)值． 解析：（1）證明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根； （2）解：∵二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，∵二次項系數(shù)a=1，∴拋物線開口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴拋物線與x軸有兩個交點，設(shè)拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，

10、解得k≤1，即k的取值范圍是k≤1； （3）解：設(shè)方程的兩個根分別是x1，x2，根據(jù)題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．則k的最大整數(shù)值為2． 【答案】（1）證明見解析；（2）k≤1；（3）2． 【解題反思】：本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強。 15.已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根． (1) 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． (2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值． 【解析】(1) 假設(shè)存在實數(shù)，使成立．∵ 一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴ ，又是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴ ∴ ，但． ∴不存在實數(shù)，使成立． 7