2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.1 二階矩陣與平面向量 2.1.1 矩陣的概念教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 2．1.1　矩陣的概念 1．矩陣 在數(shù)學(xué)中，把形如，，這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱作矩陣，一般地，我們用大寫黑體拉丁字母A，B，…或者(aij)來表示矩陣，其中i，j分別表示元素所在的行和列．同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)(或字母)叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)(或字母)叫做矩陣的列，組成矩陣的每一個(gè)數(shù)(或字母)稱為矩陣的元素，所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣，記為0. 2．行矩陣，列矩陣 一般地，我們把像[a11　a12]這樣只有一行的矩陣稱為行矩陣，而把像這樣只有一列的矩陣稱為列矩陣，并用希臘字母α，β，…來表示． 平面上向量α＝(x，y)的坐標(biāo)

2、和平面上的點(diǎn)P(x，y)都可以看做是行矩陣[x，y]，也可以看做是列矩陣.因此，我們又稱[x　y]為行向量，稱為列向量，在本書中，我們把平面向量(x，y)的坐標(biāo)寫成的形式． 3．矩陣相等 對(duì)于兩個(gè)矩陣A，B，只有當(dāng)A，B的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)，A和B才相等，此時(shí)記作A＝B. 用矩陣表示平面圖形 [例1]　　畫出矩陣所表示的三角形，并求該三角形的面積． [思路點(diǎn)撥]　寫出平面圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可． [精解詳析]　 矩陣所表示的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為(－1,1)，(4，－1)，(3,1)．所求三角形的面積為4. 1．矩陣可

3、以表示點(diǎn)A(－1,1)，B(4，－1)，C(3,1)或由它們構(gòu)成的三角形； 2．表示同一個(gè)三角形的矩陣不唯一，如本例三角形，可用矩陣等表示； 3．空間圖形也可以用矩陣表示，不過需注意空間中點(diǎn)的坐標(biāo)是由3個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組． 1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫出矩陣，，，所表示的以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量． 解：矩陣，，，所表示的以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(1,2)，(－1,2)，(1，－2)，(0，－2)．按要求畫出相應(yīng)向量即可． 2．已知A(0,0)，B(2,3)，C(6,3)，D(4,0)，寫出表示四邊形ABCD的一個(gè)矩陣． 解：表示四邊形ABCD的矩陣可以為

4、或等． 矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用 [例2]　已知甲、乙、丙三人中，甲與乙相識(shí)，甲與丙不相識(shí)，乙與丙相識(shí)．用0表示兩人之間不相識(shí)，用1表示兩人之間相識(shí)，請(qǐng)用一個(gè)矩陣表示他們之間的相識(shí)關(guān)系(規(guī)定每個(gè)人和自己相識(shí))． [思路點(diǎn)撥]　先列出一個(gè)表格表示他們之間的相識(shí)關(guān)系，然后利用表格再用矩陣表示即可． [精解詳析]　將他們之間的相識(shí)關(guān)系列表如下： 甲 乙 丙 甲 1 1 0 乙 1 1 1 丙 0 1 1 故用矩陣表示為. 用矩陣表示實(shí)際問題時(shí)，要注意元素的次序，矩陣中元素的次序不一樣，表示的實(shí)際問題可能就不一樣． 3．某物流公

5、司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)企業(yè)配送煤： 從甲礦區(qū)向企業(yè)A，B，C送的煤分別是100萬噸、200萬噸、150萬噸；從乙礦區(qū)向企業(yè)A，B，C送的煤分別是150萬噸、150萬噸、300萬噸．試用矩陣表示上述數(shù)據(jù)關(guān)系． 解：列表如下(單位：萬噸)： 企業(yè)A 企業(yè)B 企業(yè)C 甲礦區(qū) 100 200 150 乙礦區(qū) 150 150 300 記M＝，則矩陣M就是上述數(shù)據(jù)關(guān)系的一個(gè)表示． 4．兩類藥片有效成分如下表所示： 成分 藥品　　　 阿司匹林(mg) 小蘇打(mg) 可待因(mg) A(1片) 2 5 1 B(1片) 1 7 6 試用矩陣

6、表示A、B兩種藥品每片中三種成分所含的質(zhì)量． 解：表示A、B兩種藥品成分的矩陣為. 矩陣相等 [例3]　已知矩陣A＝，B＝，若A＝B，試求a，b，c，d的值． [思路點(diǎn)撥]　我們說兩個(gè)矩陣是相等的，是指兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相同，并且相應(yīng)位置的元素也分別相等，本題考查對(duì)矩陣相等定義的理解． [精解詳析]　 因?yàn)锳＝B，即＝， 由矩陣相等的意義可知 由此解得a＝2，b＝0，c＝1，d＝4. 兩個(gè)同行同列的矩陣，只要有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的元素不一樣，這兩個(gè)矩陣就不相等，如≠兩個(gè)不同行(或者不同列)的矩陣一定是不相等的，如以零矩陣為例：[0,0]和，盡管兩個(gè)矩陣的元素

7、均為0，但兩者不相等．這好比，現(xiàn)在有甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)行足球比賽，前一個(gè)零矩陣可表示他們之間進(jìn)行了一場比賽，比賽結(jié)果為0∶0，而后者可表示他們之間進(jìn)行了兩場比賽，兩場比賽的結(jié)果均為0∶0. 5．已知A＝，B＝，若A＝B，求x與y的值． 解：∵A＝B， ∴解得 6．已知A＝，B＝，且A＝B，求x，y，m，n的值． 解：由矩陣相等的充要條件得 解得 1．設(shè)A為二階矩陣，且規(guī)定元素aij＝i＋j(i＝1,2，j＝1,2)，試求A. 解：由題意可知a11＝2，a12＝3，a21＝3，a22＝4， ∴A＝. 2．矩陣M＝表示平面中三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)，問三角形是什

8、么三角形？ 解：由A(1,1)，B(1,3)，C(3,1)，畫圖可得△ABC是等腰直角三角形． 3．已知二元一次方程組的系數(shù)矩陣為，方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)矩陣為，試寫出該方程組． 解： 4．營養(yǎng)配餐中心為學(xué)生準(zhǔn)備了各種菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白質(zhì)的含量各不相同．“紅燒肉”中所含上述三種營養(yǎng)成分分別為649千卡(1千卡＝4 187 焦耳)、30 g、10 g；“青椒肉絲”中所含上述三種營養(yǎng)成分分別為258千卡、20 g、19 g；“韭菜豆芽”中所含上述三種營養(yǎng)成分分別為131千卡、15 g、3 g，試將上述結(jié)果用矩陣表示出來． 解：每千克各種菜肴中各種營養(yǎng)成分的含量如下表： 能量(

9、千卡) 脂肪(g) 蛋白質(zhì)(g) 紅燒肉 649 30 10 青椒肉絲 258 20 19 韭菜豆芽 131 15 3 所以可用矩陣M表示為M＝. 5．已知平面上正方形ABCD(順時(shí)針)的四個(gè)頂點(diǎn)可以用矩陣表示為，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面積． 解：由題意知正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為A(0,0)、B(a，c)、C(0,4)、D(b，d)，從而可求得a＝－2，b＝2，c＝d＝2.∴|AB|＝2，正方形ABCD的面積為8. 6．已知A＝，B＝，若A＝B，試求x，y，m，n的值． 解：由于A＝B，則和 解得x＝1，y＝2，m＝3，n＝4. 7．已知A＝，B＝，若A＝B，求α、β. 解：由矩陣相等的充要條件得 ∴ ∴ 8．設(shè)M是一個(gè)3×3的矩陣，且規(guī)定其元素aij＝2i＋j，i＝1，2,3，j＝1,2,3，試求M. 解：由題意可知，a11＝3，a12＝4，a13＝5，a21＝5，a22＝6，a23＝7，a31＝7，a32＝8，a33＝9.故矩陣M＝. 6