2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5

《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 復(fù)　習(xí)　課 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯(cuò)提醒] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)． (1)關(guān)注用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟．第一步稱(chēng)“歸納奠基”，是遞推鏈的起點(diǎn)；第二步稱(chēng)為“歸納遞推”，是遞推鏈具有傳遞性的保證．兩步缺一不可，否則不能保證結(jié)論成立． (2)關(guān)注適用范圍，數(shù)學(xué)歸納法適用于某些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題，這里n是任意的正整數(shù)，它可取無(wú)限多個(gè)值，但是，并不能說(shuō)所有與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)． (1)在數(shù)學(xué)歸納法中，沒(méi)有應(yīng)用歸納假設(shè)． (2)歸納推理不到位． 專(zhuān)題一　數(shù)學(xué)歸納法 在使用數(shù)

2、學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，第一步，驗(yàn)證比較簡(jiǎn)明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜．因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問(wèn)題，歸納假設(shè)“P(k)”是問(wèn)題的條件，而命題P(k＋1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵． [例?]　設(shè)0＜a＜1，定義a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有1＜an＜. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＞1，a1＝1＋a＜，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，命題成立．即1＜ak＜， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由遞推公式，知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. 同時(shí)，

3、ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1＜ak＋1＜， 綜合(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1＜an＜. 歸納升華 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的題型多種多樣，所以不等式的證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1也成立時(shí)，其他證明不等式的方法在此都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考慮與原不等式等價(jià)的命題． [變式訓(xùn)練]　證明不等式＋＋…＋＜1(n≥2，n∈N*)． 證明：先證明＋＋…＋＜1－(n≥2)，(*) 對(duì)(*)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝2時(shí)，(*)顯然成立． (2)設(shè)n＝k時(shí)，不等式(*)成立， 則＋＋…＋＜

4、1－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＜1－＋＜1－＋＝1－＋＝1－. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式(*)成立． 根據(jù)(1)和(2)知，對(duì)n∈N*且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立. 專(zhuān)題二　歸納、猜想、證明思想的應(yīng)用 歸納、猜想、證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，因此務(wù)必要保持猜想的正確性，同時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書(shū)寫(xiě)． [例2]　數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an. (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想． (1)解：

5、當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1， 所以a1＝1. 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2， 所以a2＝. 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3， 所以a3＝. 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， 所以a4＝. 由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1 ， 即ak＋1＝2＋ak－ak＋1， 所以ak＋1＝＝＝， 這表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

6、結(jié)論成立． 由①②知猜想的通項(xiàng)公式an＝成立． 歸納升華 歸納—猜想—證明的三步曲 (1)計(jì)算：根據(jù)條件，計(jì)算若干項(xiàng)． (2)歸納猜想：通過(guò)觀察、分析、綜合、聯(lián)想、猜想出一般結(jié)論． (3)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． [變式訓(xùn)練]　“設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，有f(1)＝1＞，f(3)＞1，f(7)＞，f(15)＞2，…”．試問(wèn)：f(2n－1)與大小關(guān)系如何？試猜想并加以證明． 解：數(shù)列1，3，7，15，…，通項(xiàng)公式為an＝2n－1，數(shù)列，1，，2，…，通項(xiàng)公式為an＝， 所以猜想：f(2n－1)＞. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(21－1)＝f

7、(1)＝1＞，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即f(2k－1)＞. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋＞ f(2k－1)＋＋…＋,2k個(gè)＝f(2k－1)＋＞＋＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 據(jù)(1)(2)知對(duì)任何n∈N＋原不等式均成立． 專(zhuān)題三　轉(zhuǎn)化和化歸思想 把所要證的平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的思想．一般將待解決的平面幾何問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之化為我們熟悉的或容易解決的問(wèn)題． [例3]　設(shè)平面α內(nèi)有n條直線，這n條直線把平面α分成互不垂疊的區(qū)域個(gè)數(shù)的最大值為f(n)，求

8、f(n)的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解：設(shè)平面α內(nèi)k(k≥1)條直線把平面α分成區(qū)域個(gè)數(shù)的最大值為f(k)，則第k＋1條直線與前k條直線最多有k個(gè)交點(diǎn)，因此第k＋1條直線最多可以被分成k＋1段，每一段可把所在的區(qū)域分為兩部分，所以比原來(lái)的區(qū)域增加k＋1個(gè)，即有f(k＋1)＝f(k)＋k＋1， 所以f(k＋1)－f(k)＝k＋1. 于是f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n. 把以上n－1個(gè)等式相加得f(n)－f(1)＝2＋3＋…＋n. 因?yàn)閒(1)＝2， 所以f(n)＝f(1)＋(2＋3＋…＋n)＝(n2＋n＋2)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證

9、明： (1)n＝1時(shí)，一條直線可以把平面分成2個(gè)， 即f(1)＝2，而(n2＋n＋2)＝(1＋1＋2)＝2， 所以命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)＝(k2＋k＋2)成立， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)＝(k2＋k＋2)＋(k＋1)＝(k2＋2k＋1＋k＋3)＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]，所以命題仍成立． 由(1)(2)知，當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)＝(n2＋n＋2)成立． 歸納升華 有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、公式等與自然數(shù)n有關(guān)的命題，主要是抓住遞推關(guān)系，明確要證明的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． [變式訓(xùn)練]　用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，整式an－bn都能被a－b整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，an－bn＝a－b能被a－b整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，ak－bk能被a－b整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)． 因?yàn)?a－b)和ak－bk都能被a－b整除， 所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除． 這也就是說(shuō)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1能被a－b整除． 根據(jù)(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n，an－bn都能被a－b整除． 5