數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離 新人教A版必修2

《數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離 新人教A版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離 新人教A版必修2（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)目標(biāo)定位1.證明并掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理自 主 預(yù) 習(xí)文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用線面垂直線線平行作平行線ab2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，則_垂直于_的直線與另一個(gè)平面_符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用面面垂直_垂直作面的垂線aal一個(gè)平面內(nèi)交線垂直線面即 時(shí) 自 測(cè)1.判斷題(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一

2、條也垂直于這個(gè)平面.( )(2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.( )(3)如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直 線在第一個(gè)平面內(nèi).即，A，Ab，bb.( )(4)如果平面平面，那么平面內(nèi)的所有直線都垂直于平面.( )提示(2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以相交也可以平行.(4)直線與平面位置關(guān)系不確定.2.ABC所在的平面為，直線lAB，lAC，直線mBC，mAC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定解析因?yàn)閘AB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可證m，所以lm.答案C3.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)

3、E，作EFA1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直解析在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正確.答案D4.已知a、b為直線，、為平面.在下列四個(gè)命題中，正確的命題是_(填序號(hào)).若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，a，則；若b，b，則.解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行

4、”知真；易知假.答案類型一直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交.求證：EFBD1. 證明如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可證BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.規(guī)律方法證明線線平行常有如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；(2)利用三線平行公理：證

5、兩線同時(shí)平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.【訓(xùn)練1】 如圖，已知平面平面l，EA，垂足為A，EB，垂足為B，直線a，aAB.求證：al.證明因?yàn)镋A，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因?yàn)镋B，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.類型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】 已知：、是三個(gè)不同平面，l為直線，l.求證：l.證明法一設(shè)a，b，在內(nèi)任取一點(diǎn)P，過(guò)P在內(nèi)作直線ma

6、，nb，如圖.，m，n，又l，ml，nl，又mnP，l.法二如圖，a，b，在內(nèi)作ma，在內(nèi)作nb.，m，n，mn.又n，m ，m，又l，m，ml，l.規(guī)律方法1.證明或判定線面垂直的常用方法有：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若ab，a則b；(a，b為直線，為平面).(4)若a，則a；(a為直線，為平面).2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.【訓(xùn)練2】 設(shè)平面平面，點(diǎn)P在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作平面的垂線a，試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.解如圖，設(shè)c，過(guò)點(diǎn)P在平面內(nèi)作直線bc.根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理有

7、b.因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直，所以直線a與直線b重合，因此a.類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用(互動(dòng)探究)【例3】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且DAB60，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG平面PAD；(2)求證：ADPB.思路探究探究點(diǎn)一運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理的一般策略是什么？提示運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般要作輔助線：過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線.這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直或線線垂直了.探究點(diǎn)二線線、線面、面面垂直關(guān)系之間有怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？提示證明(1)在菱形ABCD中，D

8、AB60，ABD為正三角形，又G為AD的中點(diǎn)，BGAD.又平面PAD平面ABCD，BG平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)連接PG，如圖，PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.規(guī)律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理.證明線面垂直的問(wèn)題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.【訓(xùn)練3】 如圖，已知四棱錐PA

9、BCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.PA與BD是否相互垂直？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解PA與BD相互垂直.證明如下：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接PO、AO.PBPC，POBC，又側(cè)面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO底面ABCD，又BD平面ABCD.POBD，在直角梯形ABCD中，易證ABO BCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90，AOBD，又POAOO，BD平面PAO，BDPA，即PA與BD相互垂直.課堂小結(jié)1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的

10、依據(jù).2.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1.下列說(shuō)法正確的是()A.垂直于同一條直線的兩直線平行B.垂直于同一條直線的兩直線垂直C.垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行解析由線面垂直的性質(zhì)定理知C正確.答案C2.設(shè)l是直二面角，直線a，直線b，a，b與l都不垂直，那么()A.a與b可能垂直，但不可能平行B.a與b可能垂直，也可能平行C.a與b不可能垂直，但可能平行D.a與b不可能垂直，也不可能平行因?yàn)椋詀，又b，ab，b，而l，bl，與b和l不垂直矛盾，所以B錯(cuò).解析當(dāng)a，b都與l平行時(shí)，則ab，所以A、D錯(cuò)，如圖，若ab過(guò)a上一點(diǎn)P在內(nèi)作al，答案C3.如圖，在三棱錐PABC內(nèi)，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB_.4.如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，求證：平面SCD平面SBC.證明底面ABCD是矩形，BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面SCD.又BC平面SBC，平面SCD平面SBC