2017-2018版高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2.1 函數(shù)的單調性（二）學案 蘇教版必修1

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1、 2.2.1　函數(shù)的單調性(二) 學習目標　1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值． 知識點一　函數(shù)的最大(小)值 思考　在如圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少？1為什么不是最小值？ 　 　 　 梳理　設y＝f(x)的定義域為A. 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)． 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為

2、ymin＝f(x0)． 知識點二　函數(shù)的最大(小)值的幾何意義 思考　函數(shù)y＝x2，x∈[－1,1]的圖象如下： 試指出函數(shù)的最大值、最小值和相應的x的值． 　 　 梳理　函數(shù)最大值對應圖象中的最高點，最小值對應圖象中的最低點． 知識點三　函數(shù)的單調性與最值 若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調增函數(shù)，則函數(shù)的最小值為ymin＝f(a)，最大值為ymax＝f(b)；若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為ymin＝f(b)，最大值為ymax＝f(a)．即單調函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值、最小值． 類型一　借助單調性求最值 例1

3、　已知函數(shù)f(x)＝(x>0)，求函數(shù)的最大值和最小值． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上為單調增函數(shù)，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)． (2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上為單調減函數(shù)，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)． (3)若函數(shù)y＝f(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決出最大(小)．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)最大(小)的． (4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調性，還

4、要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢． 跟蹤訓練1　已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)畫出f(x)的圖象； (2)根據(jù)圖象寫出f(x)的最小值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 類型二　求二次函數(shù)的最值 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f(x)的最值； (2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值； (3)已知函數(shù)f(x)＝x－2－3，求函數(shù)f(x)的最值； (4)“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．

5、如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關系為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少(精確到1 m)? 　 　 　 　 反思與感悟　(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關，求解時要注意這兩個因素． (2)圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴謹，一般用于解答題． 跟蹤訓練2　(1)已知函數(shù)f(x)＝x4－2x2－3，求函數(shù)f(x)的最值； (2)求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值； 　 　 　 　 　 (3)如圖

6、，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關系式為h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，求水流噴出的高度h的最大值是多少？ 　 　 　 　 　 　 類型三　函數(shù)最值的應用 例3　已知x2－x＋a>0對任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 引申探究　 若將本例中“x∈(0，＋∞)”改為“x∈(，＋∞)”，再求a的取值范圍． 　 　 　 　

7、 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　恒成立的不等式問題，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般轉化為最值問題：f(x)min>a來解決．任意x∈D，f(x)

8、______． 4．已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值，最小值分別為________． 5．若不等式－x＋a＋1≥0對一切x∈(0，]恒成立，則a的最小值為________． 1．函數(shù)的最值與值域、單調性之間的聯(lián)系 (1)對一個函數(shù)來說，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y＝.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素． (2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調，則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)． 2．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y＝f(x)的草圖，然后根據(jù)圖象

9、的增減性進行研究．特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點處取得． 答案精析 問題導學 知識點一 思考　最大的函數(shù)值為4，最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應，不是函數(shù)值． 知識點二 思考　x＝±1時，y有最大值1，對應的點是圖象中的最高點，x＝0時，y有最小值0，對應的點為圖象中的最低點． 題型探究 例1　解　設x1，x2是區(qū)間(0，＋∞)上的任意兩個實數(shù)，且x10，x1x2－1<0， f(x1)

10、－f(x2)<0，f(x1)0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上為單調減函數(shù)． ∴f(x)max＝f(1)＝，無最小值． 跟蹤訓練1　解　(1)f(x)的圖象如圖． (2)由圖知，f(x)在(－∞，－1]上為單調減函數(shù)，在[－1,1]上為常函數(shù)，在[1，＋∞)上為單調增函數(shù)， ∴f(x)min＝2. 例2　解　(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－2x－3開口向上，對稱軸x＝1， ∴f(x)在[0,1]上為單調減函數(shù)，在[1,

11、2]上為單調增函數(shù)，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(1)＝－4. (2)∵對稱軸x＝1， ①當1≥t＋2即t≤－1時， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. ②當≤11時， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，

12、 f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 設函數(shù)最大值為g(t)，最小值為φ(t)，則有 g(t)＝ φ(t)＝ (3)設＝t(t≥0)，則x－2－3＝t2－2t－3. 由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上為單調減函數(shù)，在[1，＋∞)上為單調增函數(shù)． ∴當t＝1即x＝1時，f(x)min＝－4，無最大值． (4)作出函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的圖象(如圖)．顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度． 由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我們

13、有：當t＝－＝1.5時，函數(shù)有最大值h＝≈29. 于是，煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29 m. 跟蹤訓練2　解　(1)設x2＝t(t≥0)，則x4－2x2－3＝t2－2t－3. y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上為單調減函數(shù)，在[1，＋∞)上為單調增函數(shù)． ∴當t＝1即x＝±1時，f(x)min＝－4，無最大值． (2)∵函數(shù)圖象的對稱軸是x＝a， ∴當a<2時，f(x)在[2,4]上是單調增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 當a>4時，f(x)在[2,4]上是單調減函數(shù)， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 當2

14、≤a≤4時，f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝ (3)由函數(shù)h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點．此時函數(shù)取得最大值． 對于函數(shù)h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]， 當x＝1時，函數(shù)有最大值 hmax＝－12＋2×1＋＝. 于是水流噴出的最高高度是 m. 例3　解　方法一　令y＝x2－x＋a， 要使x2－x＋a>0對任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>. ∴實數(shù)a的取值范圍是(，＋∞)． 方法二　x2－x＋a>0可化為a>－x2＋x. 要使a>－x2＋x對任意x∈(0，＋∞)恒成立， 只需

15、a>(－x2＋x)max， 又(－x2＋x)max＝，∴a>. ∴實數(shù)a的取值范圍是(，＋∞)． 引申探究　 解　f(x)＝－x2＋x在(，＋∞)上為單調減函數(shù)， ∴f(x)的值域為(－∞，)， 要使a>－x2＋x對任意x∈(，＋∞)恒成立， 只需a≥， ∴a的取值范圍是[，＋∞)． 跟蹤訓練3　解　∵x>0， ∴ax2＋x≤1可化為a≤－. 要使a≤－對任意x∈(0,1]恒成立， 只需a≤(－)min. 設t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1. －＝t2－t＝(t－)2－. 當t＝1時，(t2－t)min＝0，即x＝1時，(－)min＝0， ∴a≤0. ∴a的取值范圍是(－∞，0]． 當堂訓練 1.　2.1　3.4,0　4.10,6　5.－ 11