2017-2018版高中數學 第一章 數列 3.1 等比數列(一)學案 北師大版必修5

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1、 3．1　等比數列(一) 學習目標　1.通過實例，理解等比數列的概念并學會簡單應用.2.掌握等比中項的概念并會應用.3.掌握等比數列的通項公式并了解其推導過程． 知識點一　等比數列的概念 思考　觀察下列4個數列，歸納它們的共同特點． ①1,2,4,8,16，…； ②1，，，，，…； ③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….　 梳理　等比數列的概念和特點． (1)如果一個數列從第____項起，每一項與它的____一項的____都等于________常數，那么這個數列叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的________，通常用字母q表示(q≠0)． (2)遞

2、推公式形式的定義＝q(n>1)(或＝q，n∈N＋)． (3)等比數列各項均________為0. 知識點二　等比中項的概念 思考　在2,8之間插入一個數，使之成等比數列．這樣的實數有幾個？　 梳理　等差中項與等比中項的異同，對比如下表： 對比項 等差中項 等比中項 定義 若a，A，b成等差數列，則A叫作a與b的等差中項 若a，G，b成________數列，則G叫作a與b的等比中項 定義式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 個數 a與b的等差中項唯一 a與b的等比中項有________個，且互為________ 備注 任意兩個數a與b都有等差中項

3、 只有當________時，a與b才有等比中項 知識點三　等比數列的通項公式 思考　等差數列通項公式是如何推導的？你能類比推導首項為a1，公比為q的等比數列的通項公式嗎？　 梳理　等差數列{an}首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1. 類型一　證明等比數列 例1　根據下面的框圖，寫出數列的前5項，并建立數列的遞推公式．這個數列是等比數列嗎？ 　 反思與感悟　判斷一個數列是否為等比數列的方法是利用定義，即＝q(與n無關的常數)． 跟蹤訓練1　已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)證明：數列{an}是

4、等比數列．　 類型二　等比數列通項公式的應用 命題角度1　方程思想 例2　一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項． 反思與感悟　已知等比數列{an}的某兩項的值，求該數列的其他項或求該數列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項． 跟蹤訓練2　在等比數列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an.　 命題角度2　等比數列的實際應用 例3　某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩余的這種物質是原來的84%，這種物質的半衰期為多長？(精確到

5、1年，放射性物質衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質的半衰期)　 反思與感悟　等比數列應用問題，在實際應用問題中較為常見，解題的關鍵是弄清楚等比數列模型中的首項a1，項數n所對應的實際含義． 跟蹤訓練3　某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 類型三　等比中項 例4　若1，a,3成等差數列，1，b,4成等比數列，則的值為(　　) A．± B. C．1 D．±1 反思與感悟　(1)任意兩個實數都有唯一確定的等差中項；(2)只

6、有同號的兩個實數才有實數等比中項，且一定有2個． 跟蹤訓練4?。?與－1的等比中項是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D. 1．在等比數列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 2．若等比數列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數列的項數為(　　) A．4 B．8 C．6 D．32 3．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 4．45和80的等比中項為________． 1．等

7、比數列的判斷或證明 (1)利用定義：＝q(與n無關的常數)． (2)利用等比中項：a＝anan＋2(n∈N＋)． 2．兩個同號的實數a、b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±)，而不是一個()，這是容易忽視的地方． 3．等比數列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量． 答案精析 問題導學 知識點一 思考　從第2項起，每項與它的前一項的比是同一個常數． 梳理　(1)2　前　比　同一　公比 (3)不能 知識點二 思考　設這個數為G.則＝，G2＝16，G＝±4.所以這樣的數有2個． 梳理　等比　兩　相反數　ab＞0

8、知識點三 思考　等差數列通項公式的推導是借助累加消去中間項，等比數列則可用累乘．根據等比數列的定義得 ＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)． 將上面n－1個等式的左、右兩邊分別相乘， 得···…·＝qn－1，化簡得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)． 當n＝1時，上面的等式也成立． ∴an＝a1qn－1(n∈N＋)． 題型探究 例1　解　若將輸出的數依次記為a1(即A)，a2，a3，…. 由框圖可知，a1＝1，a2＝a1×＝，a3＝a2×＝，a4＝a3×＝，a5＝a4×＝. 于是，可得遞推公式 由于＝，因此這個數列是等比數列，其通項公式是an＝n－1. 跟蹤訓練

9、1　(1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－. 又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝. (2)證明　∵Sn＝(an－1)， ∴Sn＋1＝(an＋1－1)， 兩式相減得an＋1＝an＋1－an， 即an＋1＝－an， ∴數列{an}是首項為－，公比為－的等比數列． 例2　解　設這個等比數列的第1項是a1，公比是q，那么 ②÷①，得q＝，將q＝代入①， 得a1＝. 因此，a2＝a1q＝×＝8. 綜上，這個數列的第1項與第2項分別是與8. 跟蹤訓練2　解　(1)由等比數列的通項公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)設等比數列的公比為q，

10、那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 例3　解　設這種物質最初的質量是1，經過n年，剩余量是an， 由條件可得，數列{an}是一個等比數列． 其中a1＝0.84，q＝0.84， 設an＝0.5，則0.84n＝0.5. 兩邊取對數，得nlg 0.84＝lg 0.5，用計算器算得n≈4. 答　這種物質的半衰期大約為4年． 跟蹤訓練3　解　記該糖廠每年制糖產量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N＋)， 從而an＝5×1.2n－1，這里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85. 故n＝11. 答　從2021年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸． 例4　D 跟蹤訓練4　C 當堂訓練 1．C　2.C　3.A　4.－60或60 7